孝感高中2015届数学4月月考试题

考试时间：2014年4月1日

一、选择题（每题5分，共50分每题只有一个选项是正确的）

1. 若复数
对应的点在虚轴上，则实数
的值为

A．-1或1 B．0 C．1 D．-1

2. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线
平面
，直线
平面
，直线
平面
，则直线
直线
” ．结论显然是错误的，这是因为

A．大前提错误 B．推理形式错误 C．小前提错误 D．非以上错误

3. 3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有

A. 5040种 B. 840种 C . 720种 D. 432种

4. 某个命题与正整数有关，若当
时该命题成立，那么可推得当

时该命题也成立，现已知当
时该命题不成立，那么可推得

A. 当
时，该命题不成立 B. 当
时，该命题成立

C. 当
时，该命题成立 D. 当
时，该命题不成立

5.若对于任意的实数
，有
，则
的值为

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

6.已知复数
,则
的值为

A.
B.1 C.
D.

7. 若
，则

A.0 B.1 C.2 D.3

8. 已知函数
在R上可导，且
，则函数
的解析式为

A．
B．
C．
D．

9. 将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有
种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有
种不同的方案，其中
的值为

A．
B．
C．
D．

10.已知
,则下列说法正确的是

①
关于点(0,-1)成中心对称

②
在
单调递增

③当n取遍
中所有数时不可能存在
使得

A．①②③ B．②③ C．①③ D．②

二、填空题（每题5分，共25分）

11.已知
是关于
的实系数方程
的一个根，则
.

12.已知
，则二项式
展开式中含
项的系数是 .

13.复平面内有
三点，点
对应的复数为
，向量
对应的复数为
，向量
对应的复数为
，则点
对应的复数是 .

14. 函数
的导函数
的部分图象如图所示，其中，
为图象与
轴的交点，
为图象与
轴的两个交点，
为图象的最低点．

（1）若
，点
的坐标为
，则
；

（2）若在曲线段
与
轴所围成的区域内随机取一点，则该点在
内的概率为 ．

15. 设
，将
个数
依次放入编号为
的
个位置，得到排列
．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前
和后
个位置，得到排列
，将此操作称为
变换．将
分成两段，每段
个数，并对每段作
变换，得到
；当
时，将
分成
段，每段
个数，并对每段作
变换，得到
．例如，当
时，
，此时
位于
中的第4个位置．

（1）当
时，
位于
中的第 个位置；

（2）当
时，
位于
中的第 个位置．

三、解答题（共75分，解答题必须写出解题过程和说明）

16.已知
（其中n<15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列。

（1）求n的值；

（2）写出它展开式中的所有有理项.

17. 是否存在常数
，使等式
对于一切
都成立?若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？

18. 某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为
，按交通法规定：这段公路车速限制在
（单位：
）之间。假设目前油价为
（单位：
），汽车的耗油率为
（单位：
）, 其中
（单位：
）为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量。租车需付给司机每小时的工资为
元，不考虑其它费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速
是多少？（注：租车总费用=耗油费+司机的工资）

19. （1）已知
，记
的个位上的数字为
，十位上的数字
，求
的值

（2）求和
（结果不必用具体数字表示）

20. 如图所示，
、
分别为椭圆
：
的左、右两个焦点，
、
为两个顶点；已知顶点

到
、
两点的距离之和为4．

（1）求椭圆
的方程；

（2）求椭圆
上任意一点
到右焦点
的距离的最小值．

(3)作
的平行线交椭圆
于
、
两点，求弦长
的最大值，并求
取最大值时
的面积．

21.已知函数
，(
)；

.

（Ⅰ）若
在定义域上有极值，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，若对
，总
，使得
，求实数
的取值范围.( 其中
为自然对数的底数)

（Ⅲ）对
，证明：

数学测试参考答案

1.A 2.A 3.D 4.D 5.B

6.B 7.C 8.B 9. A 10.D

11.
12.-192 13. 3-3i

14. （1）3；（2）
15. （1）6；（2）

16.解：
（其中n<15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别

是
，
，
。依题意得
，写成：

化简得90+（n-9）(n-8)=2·10(n-8)，即：n2-37n+322=0,解得n=14或n=23，因为n<15所以n=14。

(2)展开式的通项

展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0≤r≤14，所以展开式中的有理项共3项是：

；
；

17.解：若存在常数
使等式成立，则将
代入上式，有
得
，即有
对于一切
成立

证明如下：(1)当
时，左边=
，右边=
，所以等式成立

(2)假设
时等式成立，即

当
时，

=

=

=
=
=

也就是说，当
时，等式成立，

综上所述，可知等式对任何
都成立。

18. 解析：依题意：设总费用为
，则：

，

当且仅当
即
时取等号；

故当车速为

时，租车总费用最少，为
元

19. （Ⅰ）
的后两位由
确定，故个位数字为3，十位数字为1

所以

（Ⅱ）

20.解：（1)由已知得
，∴椭圆方程为
……………………2分

(2) ∵
,
且
,

∴
…………4分

∴仅当
为右顶点时
……………………………5分

（3）设
(x1，y1),
(x2，y2) ∵
，∴可设直线
：
，

代入
，得
……………………7分

由韦达定理知，
，
，………………9分

又
,

∴

仅当
时
…12分

而点
到直线
：
的距离
，

∴
．……………………13分

21. 解：（Ⅰ）
的定义域为
，要
在定义域内有极值，则

有两不等正根，

…………………(4分)

（Ⅱ）
，要对
，总
，使得

则只需
，由
得函数
在
，所以函数
在
处有最大值； ……………………(6分)

;又
在
，故

故有
……(9分)

（Ⅲ）当
时，
，
恒成立，故
在定义域
上单调递减，故当
时，
即

…………………………(12分)

所以对
，总有
，故有

……………(14分)