一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.

1．命题“若x>5，则x>0”的否命题是

A
．若x≤5，则x≤0 B．若x≤0，则x≤5

C．若x>5，则x≤0 D．若x>0，则x>5

2．
是
成立的

A. 不充分不必要条件 B
.必要不充分条件

C. 充分不必要条件 D.充要条件

3．对“任意
，都有
”的否定为

A.对任意
，都有
B.不存在
，都有

C.存在
，使得
D.存在
，使得

4．已知p、q是两个命题，若“(（p或q）”是真命题，则

A．p、q都是真命题 B．p、q都是假命题

C．p是假命题且q
是真命题 D．p是真命题且q是假命题

5.已知点B是点A（3，4，-2）在
平面上的投影，则
等于

A.
B.
C. 5 D.

6.如图，已知空间四边形
，其对角线为
，
分别是边
的中点，点
在线段
上，且使
，用向量
表示向量
是

A．

B．

C．

D．

7.如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA1长为4，且AA1与A1B1，A1D1的夹角都是60°，则AC1的长等于

A.10 B.
C.
D.

8．三棱锥D-ABC中，
平面
，
，
，E为BC中点，F为CD中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为

A.
B.

C.
D.

9．正方体ABCD(A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值是

A. B.  C. D. 

10.如图,长方体
中,

E为AD的中点,点P在线段
上,则点P到直

线BB
的距离的最小值为

A.2
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.

11. 空间四边形OABC中，
，
，
，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则
_________ （用
，
，
表示）

12.已知条件
；条件
，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_________ .

13.边长为4的正四面体
中，
为
的中点，则平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为 [来源:学科网]

14.
如图所示，AO⊥平面α，BC⊥OB，BC与平面α的夹角为30°，AO＝BO＝BC＝a，则AC＝________.

15.给出下列命题：

①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝
0(a≠0)无实根”的否命题；

[来源:学*科*网][来源:学科网]

②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；

③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；

④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.

其中真命题的序号为________.

三、解答题：本大题共4小题，满分45分.

17.（12分）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.

(1)证明AB⊥A1C;

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.[来源:Zxxk.Com]

18.（12分）如图,直棱柱
中,
分别是
的中点,
.(1)证明:
平面
;
(2)求二面角
的正弦值.



18.（12分）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,
平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.

(1)求证:AA1⊥平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;

(3)证明:在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,并求
的值.

高二月考理科数学 答案

一． 1 A 2C 3D 4B 5C 6A 7C 8B 9B 10C

二．11.

12.

13.

14.

15.①②③

三．16.解：当 p为真命题时，∵函数
是R上的减函数

17. (Ⅰ)取AB中点E,连结CE,
,
,

∵AB=
,
=
,∴
是正三角形,

∴
⊥AB, ∵CA=CB,
∴CE⊥AB, ∵
=E,∴AB⊥面
,

∴AB⊥
;

(
Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,
⊥AB,

又∵面ABC⊥面
,面ABC∩面
=AB,∴EC⊥面
,∴EC⊥
,

∴EA,EC,
两两相互垂直,以E为坐标原点,
的方向为

轴正方向,|
|为单位长度,建立如图所示
空间直角坐标系
,

有题设知A(1,0,0),
(0,
,0),C(0,0,
),B(-1,0,0),则
=(1,0,
),
=
=
(-1,0,
),
=(0,-
,
),

设
=
是平面
的法向量,

则
,即
,可取
=(
,1,-1),

∴
=

,

∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为

18.

19. (I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 ⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.

(II)由(I)知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-
,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), [来源:学。科。网]

设平面A1BC1的法向
量为
,则
,即
,

令
,则
,
,所以
.

同理可得,平面BB1C1的法向量为
,所以
. 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为
.

(III)设D
是直线BC1上一点,且
. 所以
.解得
,
,
.

所
以
. [来源:学科网]

由
,即
.解得
.

因为
,所以在
线段BC1上存在点D,

使得AD⊥A1B.

此时,
.