许昌市五校联考高二期末考试

数学试卷（理科）

注意事
项：

1. 本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.

2．答题前，务必将自己的学校 班级 姓名 考号 座号填写在答题卡规定的位置上

3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑

答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效
[来源:学科网]

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回

第I卷（选择题 共60分）[来源:Zxxk.Com]

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分）

1. 下列命题中的假命题是 （ ）

A.
B.

C.

D.

2. 不等式
表示的区域在直线
的(
)

A．右上方??? B．右下方?? C．左上方?? D．左下方

3．若不等式
的解集是
，那么
的值是 ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 不等式
的解集是 ( )

A.
B.
C.
D.

5.“m=
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 ( )

A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 设
、
分别为双曲线
的左、右焦点.若在双曲线右支上存

在点
，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双

曲线的渐近线方程为 ( )

A.
B.
C.
D.

7. 数列
是公差不为零的等差数列，并且
是等比数列
的相邻三项，若

，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 抛物线
的焦点为
，准线为
，经过
且斜率为
的直线与抛物线在
轴

上方的部分相交于点
，
,垂足为
，则
的面积是

A.
B．
C．
D．8

9. 已知
中
的对边分别为
若
且
，则

( )

A. 2 B．4＋
C．4—
D．

10.已知抛物线
上存在关于直线
对称的相异两点A、B，则|AB|等于

A. 3 B. 4 C.
D.

11.双曲线
的离心率为2，则
的最小值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知椭圆
和双曲线
有相同的焦点
是

它们的一个交点，则
的形状是 （ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 随
的变化而变化

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13.如果实数
、
满足条件
，则
的最小值为___________；

14.两个正数a、b的等差中项是
，一个等比中项是
，且
则双曲线

的离子心率e等于___________；

[来源:学科网ZXXK]

15.若实数
满足
，则
的最大值___________；

16.点P在椭圆
上运动，Q、R分别在两圆
和

上运动，则
的最小值为 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本题满分10分)

已知命题p：方程x 2 + mx + 1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x 2+4(m –2)x+1>0

的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数
m的取值范围。

18.（本题满分12分）

已知椭圆C的焦点分别为
和

，长轴长为6，设直线
交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。

19.（本题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，
。

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的面积

20.（本题满分12分）

如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB
AD，CD
AD，PA
底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD；

(2)在侧面PAD内找一点N，使MN
平面PBD；

(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

21.（本小题满分12分）

数列
记

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；

（Ⅱ）求数列
的通项公式及数列
的前n项和

22.（本题满分12分）

如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，

M为CD的中点.

（Ⅰ）求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数
，使
，

且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的

方程；

（Ⅲ）过
的直线与轨迹E交于P、Q两点，

求
面积的最大值．

2013—2014学年期末数学（理）答案

选择题

DBCD BCBC ACBB

填空题[来源:Zxxk.Com]

（13）
（14）
（ 15）
（16） 2

解答题

17．解：因为方程x 2 + mx + 1=0有两个不相等的实根，

所以Δ1=m 2 – 4>0, ∴m>2或m < – 2

又因为不等式4x 2 +4(m – 2)x + 1>0的解集为R，

所以Δ2=16(m – 2) 2– 16<0, ∴1< m <3 ……………………….5分

因为p或q为真，p且q为假，所以p与q为一真一假，

（1）当p为真q为假时，

（2）当p为假q为真时，

综上所述得：m的取值范围是
或
。。。。。。。。。。。。10分

18 [解]设椭圆C的方程为

…（2分）

由题意
，
，于是
。

∴椭圆C的方程为
…（4分）

由
得

因为该二次方程的判别
，所以直线与椭圆有两个不同交点。 …（8分）

设

则
，

故线段AB的中点坐标为
…………………….(12分)

19．解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且
，

∴
，

∴
6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

又∵
，∴在△ABC中，由正弦定理，得

∴
.

∴△ABC的面积
12分

20 （1）

是
的中点，取PD的中点
，则

，又

四边形
为平行四边形

∥
，

∥
………………………………………………..（4分）

（2）以
为原点，以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，如图，则
，
，
，
，
，

在平面
内设
，
，
，
由

由

是
的中点，此时
（8分）

（3）设直线
与平面
所成的
角为

，
，设
为

故直线
与平面
所成角的正弦为
（12分）

21（Ⅰ）由

整理得

………………………6分

（Ⅱ）由

所以

…………………………………..12分

其它解法酌情给分。

22、解：（Ⅰ）设点M的坐标为M(x, y)(x≠0)，则

又
由AC⊥BD有
，即
，

∴x2+y2=1（x≠0）. （4分）

（Ⅱ）设P（x, y），则
，代入M的轨迹方程有

即
，∴P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.

要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故
.

∴
从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x≠0). ………………………9分

（Ⅲ）易知
l的斜率存在，设方程为
联立9x2+y2=1，有

设P(
x1,
y1), Q(x2, y2)，则

令
，则
且

，
[来源:学科网ZXXK]

所以当
，即
也即
时，
面积取最大值，最大值为
．…… 12分