高二第二学期第一次段考数学试卷（理科）2014.3.21

选择题 (本大题共8个小题；每小题5分，共40分．)

1．已知复数
是虚数单位，则复数
的虚部是( )

A、
B、
C、
D、

2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数
，如果
，那么
是函数
的极值点，因为函数
在
处的导数值
，所以，
是函数
的极值点.以上推理中（ ）

A．小前提错误 B．推理形式错误 C．大前提错误 D．结论正确

3．曲线
在点（1，-3）处的切线倾斜角为（ ）

A
B
C
D

4.
展开式中的常数项为( )

A.第5项 B.第6项 C.第5项或第6项 D.不存在

5．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以 的方向行走至B，不同的行走路线有( )

A．6条 B．7条

C．8条 D．9条

6．如下图，左边的是导数
的图象，则函数
的图象是（ D ）

7、已知函数
在
上是单调函数,则实数
的取值范围( )

A.
B.
C.
D.

8．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝781
25，…，则52011的末四位数字为(　　)

A．3125 B．5625 C.8125 D.0625

第II卷（非选择题，共110分）

二、填空题(本大题共6个小题；每小题5分，共30分)

9．复数
的共轭复数为 .

10．已知长轴长为
，短轴长为
椭圆的面积为
，则
=
.

11.4名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取

方法有 .36

12.已知在
的展开式中，奇数项系数和为32，则含
项的系数是 15 .

13.若
上是减函数，则
的取值范围是

14．已知
的三边长为
，内切圆半径为
（用
），则

；类比这一结论有：若三棱锥
的内切球半径为
，则三棱锥体积
.

解答题:

15、(12分)设复数
，试求m取何值时：

（1）Z是实数； （2）Z是纯虚数； （3）Z对应的点位于复平面的第一象限.

解：（1）
时，Z是实数；

（2）
时，Z是纯虚数；

（3）
时，Z对应的点位于复平面的第一象限.

16、(12分) 已知曲线
与
在第一象限内交点为P.

（1）求过点P且与曲线
相切的直线方程；

（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S.

解：（1）
, P(2,2)
,

由点斜式得:
,

故所求的切线方程为:
.

（2）
=

.

17．（14分）设
.

求: （1）

（2）求
；

（3）求
；

（4）求各项二项式系数的和．

解：（1）
, 令
,

=
= -256 ;

（2）令
,
=
= 81 ;

（3）令
,
=
= 625,

, ∴
= 353 ;

（4）
．

18. (14分) 从1到9这九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：

（1）能组成多少个没有重复数字的七位数；

（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有多少个？

（3）在（1）的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？

(4)在（1）中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？

解：（1）
20×7！= 100800

（2）
14400

（3）
5760

(4)
28800

19. (14分)已知数列
满足
.

（Ⅰ）计算
；

（Ⅱ）猜想通项公式
，并用数学归纳法证明.

解：（Ⅰ）
,
，
，
.

（Ⅱ）
,

数学归纳法证明:

①当n=1时，
，显然成立；

②假设n=k时，（k∈N*）猜想成立，即
，

当n=k+1时，
，
，

，
，
，

∴
，即n=k+1时，猜想也成立；

由①②可知，对任意
，
.

20. (14分) 设曲线
在点A(x,
)处的切线斜率为k(x),且k(－1)=0.对一切实数x,不等式x≤k(x)≤
恒成立(
≠0).

(1) 求
(1)的值;

(2) 求函数k(x)的表达式;

(3) 求证:
＞

解：(1)
，
，

∵ x≤k(x)≤
， ∴ 1≤k(1)≤
， 故
.

(2)
,
, ∴
,
,

∵x≤k(x)≤
, ∴ x≤
≤
恒成立(
≠0).

2x≤
≤
,
，
，

， 故
， 则
. ∴

故
.

(3)

＞

,

故
＞
.