江西省吉安一中2013-2014学年度上学期高二第二次段考

数学试卷（理科）

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（每小题5分，共50分）

1. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图是全等的矩形如图所示，则这个几何体
可以为：①斜三棱柱；②四棱柱；③圆柱

其中真命题的个数是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 双曲线
与抛物线
有一个公共焦点F，过点F且垂直于实轴的弦长为
，则双曲线的离心率等于

A.
B.
C.
D.

3. 关于直线
及平面
，下列命题中正确的是

A. 若
∥
，则
∥

B. 若
∥
∥
，则
∥

C. 若
∥
，则

D. 若
∥
，则

4. 下列命题中正确的是

A. 经过点
的直线都可以用方程
表示

B. 经过定点
的直线都可以用方程
表示

C. 经过任意两个不同点
的直线都可用方程

表示

D. 不经过原点的直线都可以用方程
表示

5. 入射光线在直线
上，经过
轴反射到直线
上，再经过y轴反射到直线
上，则直线
的方程为

A.
B.

C.
D.

6. 若向量a在y轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量a平行的坐标平面是

A. xOy平面 B. xOz平面 C. yOz平面 D. 以上都有可能

7. 已知双曲线C：
的焦距为10，点
在C的渐近线上，
则C的方程为

A.
B.
C.
D.

8. 对于常数
，“
”是“方程
的
曲线是椭圆”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 已知圆C：
及直线
当直线
被C截得的弦长为
时，则

A.
B.
C.
D.

10. 如图所示，已知球O为棱长为1的正方体
的内切球，则平面
截球O的截面面积为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每小题5分，共25分）

11. 椭圆
的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是
。若
成等比数列，则此椭圆的离心率为__________。

12. 已知抛物线方程
，则它的焦点坐标为________。

13. 已知正三棱锥
，点P，A，B，C都在半径为
的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球
心到截面ABC的距离为_________。

14. 已知命题“存在
，使得
成立”是假命题，则实数
的取值范围是________。

15. 下列命题中正确的是_________。

①如果幂函数
的图象不过原点，则
或
；

②定义域为R的函数一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和；

③已知直线
两两异面，则与
同时相交的直线有无数条；

④方程
表示经过点
的直线；

⑤方程
表示的曲线不可能是椭圆。

三、解答题

16. （12分）如图，在四棱锥
中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，
。

（Ⅰ）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（Ⅱ）证明平面PDC⊥平面ABCD。

17.（12分）已知命题p：方程
表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线
的离心率
；若“
”为真，“
”为假，求实数m的取值范围。

18.（12分）已知与曲线
相切的直线
交x轴、y轴于A、B两点，O
为原点，且
。（1）求证：曲线C与直线
相切的条件是
；（2）求线段AB中点的轨迹方程。

19. （12分）如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且
，E是OC的中点。

（1）求O点到面ABC的距离；

（2）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；

（3）求二面角
的余弦值。

20.（13分） 已知抛物线
的焦点F以及椭圆
（

）的上、下焦点
及左、右顶点均在圆O：
上。

（1）求抛物线
和椭圆
的标准方程；

（2）过点F的直线交抛物线
于A，B两不同点，交y轴于点N，已知
，则
是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由。

21.（14分）已知椭圆
，离心率为
的椭圆经过点
。[来源:学|科|网Z|X|X|K]

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线
分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数
，使得
？若存在，求出实数
的值；若不存在，请说明理由。

【试题答案】

一、选择题：

1. B 2. A 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. B 9. C

10. A

二、填空题：

11.
12.
13.

14.
或
15. ①②③

[来源:学科网ZXXK]

三、解答题：

16. （12分）

解：（1）如图

在四棱锥
中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC，且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD或其补角是异面直线PA与BC所成的角。

在Rt△PDA中，tan∠PAD＝
，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2。

（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD
，又由于AD⊥PD，
，因此A
D⊥平面PDC，而
平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD。

17.
解：

p真q假，则空集
；p假q真，则

故m的取值范围
为

18.
解：（1）略

（2）

19. 解：（1）取BC的中点D，连AD、OD

∵OB＝OC，则OD⊥BC、AD⊥BC，

∴BC⊥面OAD，过O点作OH⊥AD于H，

则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离
。

∵OA⊥OB、OA⊥OC，

∴OA⊥面OBC，则OA⊥OD。

，在直角三角形OAD中，有
。

（另解：由
知，
。）

（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，∠BEM是异面直线BE与AC所成的角。求得：
，
。[来源:学_科_网Z_X_X_K]

cos∠BEM＝
。

（3）连结CH并延长交AB于F，连结OF、EF。

∵OC⊥面OAB，∴OC⊥AB。又∵OH⊥面ABC，∴CF⊥AB，EF⊥AB，

则∠EFC就是所求二面角的平面角，作EG⊥CF于G，则

，

在直角三角形OAB中，
，

在直角三角形OEF中，
，

Sin∠EFG＝
（或表示为
）

方法二：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。

20. 解析：（1）
；（2）－1

试题分析：（
1）根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系，求解抛物线方程；根据椭圆的焦点和右定点也在圆上，确定椭圆方程
；（2）利用已知的向量关系式进行坐标转化求出
，然后通过直线与抛物线方程联立，借助韦达定理进行化简
并求值。

试题解析：（1）由抛物线
的焦点
在圆O：
上得：
抛物线
3分

同理由椭圆
的上、下焦点
及
左、右顶点
均在圆O：
上可解得：
。

得椭圆
。 6分

（2）
是定值，且定值为－1。

设直线AB的方程为
，则
。

联立方程组
，消去y得：
，

，且
， 9分

由
得：
，

整理得：
，

13分

21. 解：（1）设椭圆方程为
，则
，即
，

由此得
，故椭圆方程是
，

将点
的坐标代入，得
，解得
，[来源:学科网]

故椭圆方程是
。 4分

（2）问题等价于
，即
是否是定值问题。

椭圆的焦点坐标是
，不妨取焦点（2，0），

（i）当直线AB的斜率存在且不等于零时，

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程是
，

代入椭圆方程并整理得
。

设
，则
。

根据弦长公式，

[来源:学。科。网Z。X。X。K]

8分

以
代换k，得

所以

即
10分

（ii）当直线AB的斜率不存在或等于零时，
一个是长轴长度，一个是通径长度，此时
，即
。

综上所述，故存在实数
，使得
。 14分