江西省吉安一中2013-2014学年度上学期高二第二次段考

数学试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共50分）

1. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图是全等的矩形如图所示，则这个几何体可以为：①三棱柱；②四棱柱；③圆柱

其中真命题的个数是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2.
双曲线
与抛物线
有一
个公共焦点F，过点F且垂直于实轴的弦长为
，则双曲线的离心率等于

A.
B.
C.

D.

3. 关于直线
及平面
，下列命题中正确的是

A. 若
∥
，则
∥

B. 若
∥
∥
，则
∥

C. 若
∥
，则

D. 若
∥
，则

4. 下列命题中正确的是

A. 经过点
的直线都可以用方程
表示

B. 经过定点
的直线都可以用方程
表示

C. 经过任
意两个不同点
的直线都可用方程

表示

D. 不经过原点的直线都可以用方程
表示

5. 入射光线在直线
上，经过
轴反射到直线
上，再经过y轴反射到直线
上，则直线
的方程为

A.
B.
[来源:学.科.网Z.X.X.K]

C.
D.

6. 过抛物线
的焦点F作一直线交
抛物线于P、Q两点，线段PE与QF的长分别是
与
，则
＝

A.
B.
C.
D.

7. 已知双曲线C：
的焦距为10，点
在C的渐近线上，则C的方程为

A.
B.
C.
D.

8.
对于常数
，“
”是“方程
的曲线是椭圆”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 已知圆C：
及直线
当直线
被C截得的弦长为
时，则

A.
B.
C.
D.

10. 一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球
的表面积为

A.
B.
C.
D.

[来源:学科网]

二、简答题（每小题5分，共25分）

11. 椭圆
的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是
。若
成等比数列，则此椭圆的离心率为__________。

12. 已知
抛物线方程
，则它的焦点坐标为________。

13. 曲线
在
处的切线方程为_________。

14. 已知命题“存在
，使得
成立”是假命题，则实数
的取值范围是________。

15. 下列命题中正确
的是_________。

①如果幂函数
的图象不过原点，则
或
；

②定义域为R的函数一定可以表示成
一个奇函数与一个偶函数的和；

③已知直线
两两异面，则与
同时相交的直线有无数条；

④方程
表示经过点
的直线；

⑤方程
表示的曲线不可能是椭圆。

三、解答题

16. 如图，在四棱锥
中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，
。

（Ⅰ）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（Ⅱ）证明平面PDC⊥平面ABCD。

17. 已知
，若
是
的必要而不充分条件，求实数m的取值范围。

18. 已知与曲线
相切的直线
交x轴、y轴于A、B两点，O为原点，且
。（1）求证：曲线C与直线
相切的条件是
；
（2）求线段AB中点的轨迹方程。

19. 已知抛物线
，A、B是抛物线上的两点。

求证：直线AB经过点M的充要条件是OA⊥OB，其中O是坐标原点。

20. 已知椭圆C：
经过点
是椭圆C的两个焦点，且
为椭圆C的中心。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P，Q是椭圆C上不同的两点，且O为△MPQ的重心，试求△MPQ的面积。

21. 已知椭圆
，离心率为
的椭圆经过点
。

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线
分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数
，使得
？若存在，求出实数
的值；若不存在，请说明理由。



14.
或
15. ①②③

三、解答题（75分）

16. （12分）

（1）AD⊥PD

故异面直线PA与BC所成角的正切值为2

面PCD⊥面ABCD

17. （12分）

即

18. （12分）

（1）略

（2）

19. （12分）

证明：（1）若AB过M点，设直线AB：
设

即OA⊥OB

（2）若OA⊥OB时，设直线AB：

[来源:学科网]

即直线AB：
过定点（
）

20. （13分）

（1）

（2）由点差法得

又
即

21. （14分）

（1）
[来源:学科网ZXXK]

（2）当直线AB的斜率存在且不为零时，设AB：
，

得

8分

以

代换k，得

即

[来源:学科网]

当直线AB的斜
率不存在或等于零时，
一个是长轴长，一个为通径长

综上所述，存在
，使