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重庆市重庆一中2013-2014学年高二上学期期中考试

数 学 试 题 卷（理科）2013.11

数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：（每题5分，共计50分）

1、抛物线
的焦点到准线的距离为（ ）

A.
B.
C.
D. 1

2、l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是（ ）

A.异面或平行　　 B.异面 C.相交 D.相交或异面

3、
是
成立的（ ）

A. 不充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充分不必要条件 D.充要条件

4、对任意的实数
，直线
与圆
的位置关系一定是（ ）

A.相切 B. 相交且直线不过圆心

C.相交且直线不一定过圆心 D. 相离

5、（原创）已知高为2，底面边长为1的正四棱柱的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正四棱的正视图的面积不可能等于（ ）

A.
B.2 C.
D.

6、给出以下命题：

(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；

(2)两条异面直线在同一个平面上的射影不可能平行；

(3)两个不重合的平面
，若
内有不共线的三个点到
的距离相等，则
；

(4)不重合的两直线
和平面
，若
，
，则
。

其中正确命题个数是（ ）

A．0 B.1 C.2 D.3

7、（原创）三棱锥D-ABC中，
平面
，
，
，E为BC中点，F为CD中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）

A.


B.
C.
D.

8、定长为6的线段AB的端点A、B在抛物线
上移动，则AB的中点到
轴的距离的最小值为（ ）

A.6 B.5 C.3 D.2

9、如图,长方体
中,

E为AD的中点,点P在线段

上,则点P到直

线BB
的距离的最小值为（ ）

A.2 B.
C.

D.

10.如图，椭圆
的四个顶点为

，
，两焦点为
，若以
为直径

的圆内切于菱形
，切点分别为
，

则菱形
的面积
与矩形
的面积

的比值
（ ）

A．
B．
C．
D．

[来源:学科网ZXXK]

二、填空题：（每题5分，共计25分）

11、已知
，则

12、双曲线
上一点P到右焦点F的距离为8，则P到右准线的距离为

13、边长为4的正四面体
中，
为
的中点，则平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为

14
、已知正三棱锥
底面的三个顶点A、B、C在球
的同一个大圆上，点P在球面上，如果
，则球
的表面积是

15、（原创）设
分别为双曲线

的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点
满足：①
是以
为底边的等腰三角形；②直线
与圆
相切，则此双曲线的离心率为

三、解答题：（共计75分）

（13分）（原创）已知双曲线的左右焦点
，
的坐标为（-4,0）与（4,0），离心率
。

（1）求双曲线的方程；

（2）已知椭圆
，点P是双曲线与椭圆两曲线在第一象限的交点，求|PF1|?|PF2|的值。

1
7、（13分）如图，
，
，E、F分别

为BD与CD的中点，DA=AC=BC=2。

（1）证明：
平面ABC；

（2）证明：
平面DAC；

（3）求三棱锥D-AEF的体积。

18、（13分）（原创）已知等差数列
满足：
，
；等比数列
满足：
，
.

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）设
，若数列
是递增数列，求实数
的取值范围.

19、（12分）如图，在三棱柱
中，
是

正方形
的中心，
，

，且
.

（1）求
与平面
所成角的正弦值；

（2）在线段
上是否存在一点
，使得平面
？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由.

20、（12分）在平面直角坐标系
中，F是抛物线
的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为
.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过F作倾斜角为
的直线L，交曲线C于A，B两点，求
的面积；[来源:学。科。网Z。X。X。K]

（3）已知抛物线上一点
，过点M作抛物线的两条弦
，且
，判断：直线
是否过定点？说明理由。

21、（12分）设双曲线C：
的左、右顶点分别为A1、
A2，垂直于x轴的直线
与双曲线C交于不同的两点S、T。

（1）求直线A1S与直线A2T的交点H的轨迹E的方程；

（2）设A，B是曲线E上的两个动点，线段AB的中垂线与曲线E交于P，Q两点，直线
，线段AB的中点M在直线l上，若
， 求
的取值范围．

2013年重庆一中高2015级高二上期半期考试

数 学 答 案（理科）2013.11

选择题：

BDCBA ABDCC

填空题：

11、
12、4 13、
14、
15、
[来源:学&科&网]

解答题
：

16、（1）

（2）
则

17、（1）证明：

，

（2）

又

（3）

=

18、（1）

又

， 则

，则

（2）由（1）知：

是递增数列
对任意的
恒成立

恒成立

即：
恒成立， 也即
恒成立

是增函数

19、如图，以点
为坐标在原点建立空间直角坐标系

则

（1）

设平面
的一个法向量

则
即
令
得

设所求角为
，


[来源:学|科|网Z|X|X|K]

法2、传统方法（体积法求出
到平面
的距离）

（2）假设存在点P，则


，

设平面
的法向量

则
，即
令
得

，即
，得

存在这样的点
使得平面
，且

．

20、（1）
，

又

，得

（2）设
， 由
得：

=

（3）设直线

， 则
（*）

设
，则

即
得：

即：
或

带入（*）式检验均满足

直线
的方程为：
或：

直线过定点（8，-4）.（定点(4,4)不满足题意，故舍去）

21、（1）设直线A1S与直线A2T的交点H的坐标为（x，y），
，

由A
1、H、S三点共线，得：
……③

由A2、H、T三点共线，得 ：
……④

联立③、④，解得

∵
在双曲线上，∴

∴轨迹E的方程为

（2） 由（1）知直线AB不垂直于x轴，设直线AB的斜率为k，M(
，m) (m≠0)，

A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由
得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)
＝0，

则1＋4mk＝0，得： k＝–
．

此时，直线PQ斜率为
，PQ的直线方程为：
．[来源:Zxxk.Com]

即：
．

联立
消去y，整理得
．

又设
，则：
，
．

令t＝1＋32m2，
点
在椭圆内
，

又

1＜t＜29，则
．

所以，
的取值范围为