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重庆市重庆一中2013-2014学年高二上学期期中考试 数学文试题 Word版含答案2013.11

数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题（每个小题5分，共50分，将答案涂写在答题卡的相应位置上）

1、若曲线
表示焦点在
轴上的双曲线，则实数
的取值范围为（ ）

2、命题“对任意
,都有
”的否定为（ ）

对任意
,都有

不存在
，使得

存在
,使得

存在
,使得
[来源:Z.xx.k.Com]

3、圆
的半径为（ ）

4、设
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题中正确的是( )

若
，则


，则

若
，则

若
，则

5、“
”是“直线
和直线
互相平行”的（ ）条件

充分不必要
必要不充分

充分必要
既不充分又不必要

6、设不等式组
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）

7、当
变化时，直线
和圆
的位置关系是（ ）

相交
相切
相
离
不确定

8、已知点
为双曲线
的左顶点，点B和C在双曲线的右支上，△ABC是
等边三角形，则△ABC的面积是( )

9、（原创）设椭圆
的左右焦点分别为
,点
在椭圆上，若
,则
（
）

10、（原创）在四面体
中，已知
, 该四面体的其余五条棱的长度均为2，则下列说法中错误的是（ ）

棱长
的取值范围是：

该四面体一定满足：

当
时，该四面体的表面积最大

当
时，该四面体的体积最大

二、填空题（每个小题5分，共25分，将答案填写在答题卷的相应位置上）

11、已知直线
的一个方向向量为
，则直线
的斜率为

12、若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积等于

13、某公共汽车站每隔10分钟有一辆公共汽车发往A地，李磊不定时的到车站等车去A地，则他最多等3分钟的概率为

14、已知双曲线
的一条渐近线和圆
相切，则该双曲线的离心率为

15、（原创）已知点
在椭圆
上运动，设
，

则
的最小值为

三、解答题（本大题共有6个小题，共75分，前三个题每题13分，后三个题每题12分，解答时应在
答题卷上写出必要的文字说明，证
明过程或演算步骤）

16、（原创）某早餐店的早点销售价格如下：

饮料

豆浆

牛奶

粥



单价

1元

2.5元

1元





面食

油条

面包

包子



单价

1元

4元

1元



假设小明的早餐搭配为一杯饮料和一个面食.

（1）求小明的早餐价格最多为3元的概率；

（2）求小明不喝牛奶且不吃油条的概率.[来源:学科网]

17、如右图，四棱锥
的底面
为矩形，

且
平面
，且
， 设点
分别为棱
的中点

（1）求证：
平面

（2）求证：
平面



18、已知下面两个命题：

命题

,使
；

命题


,都有

若“
”为真命题，“
”也是真命题，求实数
的取值范围.

19、已知过点
的直线
和圆
交于
两点.

（1）若点
恰好为线段
的中点，求直线
的方程；

（2）若
，求直线
的方程.

[来源:Z,xx,k.Com]



20、（原创）如右图，已知
是边长为
的

正方形，
平面
，
平面
,

设
,

（1）证明：平面
平面
；

（2）求四面体
的体积；

（
3）求点
到平面
的距离.

2
1、（原创）已知椭圆
的离心率为
，短轴长度为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设
为该椭圆上的两个不同点，
，且
， 当
的周长最大时，求直线
的方程.

2013年重庆一中高2015级高二上期半期考试

数 学 答 案（文科）2013.11

[来源:Zxxk.Com]

一、选择题：

二、填空题：11：
12：
13：
14：
15：

三、解答题：

16：解：设豆浆，牛奶，粥依次用字母
表示，油条，面包，包子依次用字母
表示，则小明早晨所有可能的搭配如下：

总共有9种不同的搭配方式。

（1）明的早餐价格最多为3元包含的结果为：
，共有4种，其概率为

（2）小明不喝牛奶且不吃油条包含的
结果为：
，共有4种，其概率为

17： 证明：（1）由已知
为
的中位线，所以
，又因为
，所以
，而
平面
,
平面
,所以
平面

（2）由已知
在平面
中的射影为
，
面
，
，由三垂

线定理可知：
，而
，所以
；

又因为
为等腰三角形，
为
中点
，所以
；

由
可知：
平面

18：解：命题
等价于：
，解出：
或者

命题
等价于：
或者
，解出：

由已知
为假命题，
为真命题，所以
，解出

综上
的取值范围为：

19：解：（1）易知圆心为原点
，由已知
,所以
，而
，解出
，由点斜式可得直线的方程为：

（2）当直线
的斜率不存在时刚好满足
，此时直线方程为
；

若直线斜率存在，设为
，整理为

由垂径定理圆心到直线的距离

所以
，解出
，此时直线的方程为

综上可知满足条件的直线方程为：
或者

20：解：（1）由已知：
，
，所以
平面
,[来源:Zxxk.Com]

而
平面
，所以平面
平面

（2）四面体
的体积

所以四面体
的体积为2

（3）先求
的三条边长：
,
，在直角梯形
中易求出
，

由余弦定理知
，所以
，

；

点
到平面
的距离为
，由体积法知：

，解出

所以点
到平面
的距离为2

21：解：（1）有已知可得：
，解出

所以椭圆的方
程为：

（2）易知
恰好为椭圆的右焦点，设该椭圆的左焦点为
，

设
的周长为
，则：

所以周长的最大值为
，当线段
经过左焦点
时取等
号。

由于直线
的斜率不能为0，否则
三点共线，与
相矛盾。所以可假设直线
的方程式为：

将
该直线和椭圆联立化简得：

假设
，由韦达定理知：
，

由已知
，所以：
即：

即：

即：

即：

将韦达定理代入上式得：
，解出：

所以直线
的方程为：