杭十四中二〇一三学年第一学期末考试

高二年级数学（理）学科试卷

注意事项：

1．考试时间：2014年1月20日10时10分至11时40分；

2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；

3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；

4．其中本卷满分120分．共4页；

5．本试卷不得使用计算器。

一、选择题：共10小题，每小题3分，计30分。

1．直线x＝－1的倾斜角和斜率分别是(　　)

A．45°，1　　　　　　 　 B．135°，－1

C．90°，不存在 D．180°，不存在

2．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有(　　)

A．1条或2条 B．2条或3条

C．只有2条 D．1条或2条或3条

3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为(　　)

4． 已知命题p：?x∈，cos2x＋cosx－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是(　　)

A.　　　　　 B. C．[－1,2] D.

5．在△ABC中，“·＝·”是“||＝||”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：6＝＋2＋3，则(　　)

A．四点O、A、B、C必共面 B．四点P、A、B、C必共面

C．四点O、P、B、C必共面 D．五点O、P、A、B、C必共面

7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是(　　)

A．{} B．{α|≤α≤}

C．{α|≤α≤} D．{α|≤α≤}

8．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是(　　)

A．a≤1 B．a≥5

C．1≤a≤5 D．a≤5

9．正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D—GAC与三棱锥P—GAC体积之比为(　　)

A．1∶1 B．1∶2

C．2∶1 D．3∶2

10．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)

A．2 B．6

C．3 D．2

二、填空题：共7小题，每小题4分，计28分。

11．直线y＝－x＋b与5x＋3y－31＝0的交点在第一象限，则b的取值范围是________．

12．令p(x)：ax2＋2x＋1>0，如果对?x∈R，p(x)是真命题，则a的取值范围是________．

13．已知直线l的方向向量为v＝(1，－1，－2)，平面α的法向量u＝(－2，－1,1)，则l与α的夹角为________．

14．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y－1＝0上，则|PQ|的最小值是________．

15．已知曲线C：x＝(－2≤y≤2)和直线y＝k(x－1)＋3只有一个交点，则实数k的取值范围是________．

16．已知F1、F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，从F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，交F2P的延长线于M，则点M的轨迹方程是________．

17.四面体ABCD中，有如下命题：

①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；

②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；

③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；

④若四个面是全等的三角形，则四面体ABCD是正四面体.

其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）.

三、解答题：共4小题，计42分。

18．（本小题满分8分）给定两个命题P：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．

19．（本小题满分10分）已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5.

(Ⅰ)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

20．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(Ⅰ)证明：平面PQC⊥平面DCQ；

(Ⅱ)求二面角Q－BP－C的余弦值．

21．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

四、附加题：本大题共2小题，共20分．

22．（1）（本小题满分5分）已知圆M：（x＋cos(）2＋（y－sin(）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题，其中真命题是（ ）

A．对任意实数k与(，直线l和圆M相切

B．对任意实数k与(，直线l和圆M没有公共点

C．对任意实数(，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切

D．对任意实数k，必存在实数(，使得直线l与和圆M相切

（2）（本小题满分5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F、G分别为AB、BC、BB1的中点．则以B为顶点的三棱锥B-GEF的高h=________．

23．（本小题满分10分）设
,
为直角坐标平面内
轴正方向上的单位向量,若向量
,
,且
.

（Ⅰ）求点
的轨迹
的方程;

（Ⅱ）过点(0,3)作直线
与曲线
交于
两点,设
,是否存在这样的直线
,使得四边形
是矩形?若存在,求出直线
的方程;若不存在,试说明理由.

杭十四中二〇一三学年第一学期末考试

高二年级数学（理）学科试卷答案

一、选择题：共10小题，每小题3分，计30分。

1．直线x＝－1的倾斜角和斜率分别是(　　)

A．45°，1　　　　　　　 B．135°，－1

C．90°，不存在 D．180°，不存在

答案：C

2．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有(　　)

A．1条或2条 B．2条或3条

C．只有2条 D．1条或2条或3条

解析：当α过平面β与γ的交线时，这三个平面有1条交线，当β∥γ时，α与β和γ各有一条交线，共有2条交线．当β∩γ＝b，α∩β＝a，α∩γ＝c时，有3条交线．

答案：D

3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为(　　)

图1

解析：由几何体的正视图、侧视图，结合题意，可知选C

答案：C

4． 已知命题p：?x∈，cos2x＋cosx－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是(　　)

A.　　　　　 B. C．[－1,2] D.

解析：依题意，cos2x＋cosx－m＝0在x∈上有解，即cos2x＋cosx＝m在x∈上有解．令f(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋)2－，由于x∈，所以cosx∈[0,1]，于是f(x)∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．

答案：C

5．在△ABC中，“·＝·”是“||＝||”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，则||＝||·cos∠CAB，||＝||·cos∠CBA， ·＝·?||·||·cos∠CAB＝||·||·cos∠CBA?||·cos∠CAB＝||·cos∠CBA?||＝||?||＝||，故选C.

答案：C

6．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：6＝＋2＋3，则(　　)

A．四点O、A、B、C必共面

B．四点P、A、B、C必共面

C．四点O、P、B、C必共面

D．五点O、P、A、B、C必共面

解析：由已知得＝＋＋，而＋＋＝1，∴四点P、A、B、C共面．

答案：B

7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是(　　)

A．{} B．{α|≤α≤}

C．{α|≤α≤} D．{α|≤α≤}

解析：取C1D1的中点E，PM必在平面ADEM上，易证D1N⊥平面ADEM. 本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．

答案：A

8．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是(　　)

A．a≤1 B．a≥5

C．1≤a≤5 D．a≤5

解析：A∩B＝B等价于B?A.当a≥1时，集合A和B中的点的集合分别代表圆x2＋y2＝16和圆x2＋(y－2)2＝a－1的内部，如图2，容易看出当B对应的圆的半径小于2时符合题意．由0≤a－1≤4，得1≤a≤5；当a<1时，集合B为空集，也满足B?A，所以当a≤5时符合题意．

答案：D

9．正六棱锥P——ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D—GAC与三棱锥P—GAC体积之比为(　　)

A．1∶1 B．1∶2

C．2∶1 D．3∶2

解析：∵G为PB中点，∴VP—GAC＝VP—ABC—VG—ABC＝

2VG—ABC—VG—ABC＝VG－ABC

又多边形ABCDEF是正六边形，∴S△ABC＝S△ACD.

VD—GAC＝VG—ACD＝2VG—ABC ∴VD—GAC∶VP—GAC＝2∶1.

答案：C

10．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)

A．2 B．6

C．3 D．2

解析：直线AB的方程为x＋y－4＝0，点P关于直线AB的对称点P1坐标为(4,2)，点P关于y轴的对称点P2(－2,0)，则|P1P2|＝＝2，即为光线所经过的路程．

答案：A

二、填空题：共7小题，每小题4分，计28分。

11．直线y＝－x＋b与5x＋3y－31＝0的交点在第一象限，则b的取值范围是________．

解析：解直线的方程组成的方程组，求出交点坐标，然后根据交点在第一象限列出不等式即可．

由?.

∵交点在第一象限，∴，即?

答案：

12．令p(x)：ax2＋2x＋1>0，如果对?x∈R，p(x)是真命题，则a的取值范围是________．

解析：由已知?x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立．显然a＝0不合题意，所以?a>1.

答案：a>1

13．已知直线l的方向向量为v＝(1，－1，－2)，平面α的法向量u＝(－2，－1,1)，则l与α的夹角为________．

解析：∵cos〈v，u〉＝＝，∴〈v，u〉＝60°.∴l与α的夹角为30°.

答案：30°

14．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y－1＝0上，则|PQ|的最小值是________．

答案：3－3－

15．已知曲线C：x＝(－2≤y≤2)和直线y＝k(x－1)＋3只有一个交点，求实数k的取值范围．

解：如图，曲线C表示以(0,0)为圆心，2为半径的右半圆，直线过(1,3)点．

由图2可得kAM＝＝1，kBM＝＝5，

∴1≤k<5.又＝2,3k2＋6k－5＝0，

解得k＝－1±(舍正)．∴k取值的集合为{k|1≤k<5或k＝－1－}．

16．已知F1、F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，从F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，交F2P的延长线于M，则点M的轨迹方程是________．

解析：由题意知|MP|＝|F1P|，

∴|PF1|＋|PF2|＝|MF2|＝2a.

∴点M到点F2的距离为定值2a.

∴点M的轨迹是以点F2为圆心，以2a为半径的圆，其方程为(x－)2＋y2＝4a2.

答案：(x－)2＋y2＝4a2

17.四面体ABCD中，有如下命题：

①若AC⊥BD，AB⊥CD则AD⊥BC；

②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；

③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；

④若四个面是全等的三角形，则四面体ABCD是正四面体。

其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）。

答案： ①③④

三、解答题：共4小题，计42分。

18．（本小题满分8分）给定两个命题P：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．

解：命题P：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，则“a＝0”，或“a>0且a2－4a<0”．解得0≤a<4.

命题Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，则Δ＝1－4a≥0，得a≤.

因为P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则P，Q有且仅有一个为真命题，

故綈P∧Q为真命题，或P∧綈Q为真命题，则或解得a<0或

所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(，4)．

19．（本小题满分10分）已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5.

(Ⅰ)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

解：(Ⅰ)由题意，得＝5.

＝5，化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0.

即(x－1)2＋(y－1)2＝25. ∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，

轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．

(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段的长为2＝8，

∴l：x＝－2符合题意．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，

圆心到l的距离d＝，由题意，得()2＋42＝52，解得k＝.

∴ 直线l的方程为x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.

综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0.

20．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(Ⅰ)证明：平面PQC⊥平面DCQ；

(Ⅱ)求二面角Q－BP－C的余弦值．

解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.

(Ⅰ)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．

所以·＝0，·＝0.

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.

故PQ⊥平面DCQ.

又PQ?平