2013.10.31

一．选择题（
每题5分，共50分）

1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　 　)

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是(　 　)

A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0 C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0

3．已知定点A(1,2)和直线l：x＋2y－5＝0，那么到定点A的距离和到定直线l距离相等的点的轨迹为 (　 　)

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线

4．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是(　 　)

A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(0,1)

5．直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：
2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，

则m的值为( )

A．－4 B．0 C．3
D．－4或3.

6．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为(　　)

A．　　　
B．1　　　 C．　　　 D．

7．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示
)应是(　　)

8．过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点为M，若△MAB是直角三角形，则此双曲线的离心率e的值为（ ）

A． B．2 C． D．

9．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值
范围是（ ）

A． B． C．[－，] D．

10．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（ ）

A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－ C．x2＝y－ D．x2＝2y－2

二．填空题（每小题5分，共25分）

11．直线kx－y＋2k＋2＝0（k∈R）经过定点M，则M的坐标为__________．

12．已知双曲线 － ＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为__________．

13．一条光线经过点P(2,3)射在直线x＋y＋1＝0上，反射后，经过点A(1,1)，则光线的反射线所在的直线方程为________．

14．命题p：“任意x∈R，使ax2＋4x＋a≥－2x2＋1”是真命题，则实数a的取值范围是___
_____．

15．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是__________________．

[来源:学科网]

三．解答题（本大题共6小题，满分12+12+12+12+13+14=75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

16．(12分) 根据下列条件求椭圆的标准方程：

（1）经过两点A(0,2)和B.

（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；

17．(12分) 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点
(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．

（1）求双曲线方程；

（2）求证：·＝0；

（3）求△F1MF2面积．

18．（12分）已知椭圆C：＋＝1和点P(1,2)，直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．

19．（13分）已知，如图，⊙O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.

（1）求实数a、b间满足的等量关系；

（2）求线段PQ长的最小值；

20．（12分）设A，B分别为双曲线 －＝1 (a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．

21．（14分）已知直线l：y＝x＋m，m∈R.

（1）若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；

（2）若直线l关于x轴对称的直线
为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？若相切,求出此时的m值;若不相切,说明理由．

[来源:学。科。网Z。X。X。K]

高二期中考试数学答案（理科）

1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

解析：a＋b＋c＝3
的否命题是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.[来源:学+科+网]

答案：A

2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是(　　)

A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0

C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0

解析：由圆的几何性质知kPQ·kOM＝－1，∵kOM＝2，∴kPQ＝－，故直线PQ的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.

答案：B

3.已知定点A(1,2)和直线l：x＋2y－5＝0，那么到定点A的距离和到定直线l距离相等的点的轨迹为 (　　)

A．椭圆 B．双曲线

C．抛物线 D．直线

4.在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是(　　)

A．(－∞，1) B．(1，＋∞)

C．(－1，＋∞) D．(0,1)

5.直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：
2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，则m的值为( )

A －4 B 0 C 3 D－4或3.

思路分析：分斜率存在、不存在两种情况讨论．

解：(1)当l1，l2斜率都存在时，

所以m≠0且m≠3.

由l1∥l2，得－＝－，

解得m＝－4.

此时l1：x－14y－2＝0，l2：x－14y－＝0，

显然，l1与l2不重合，满足条件．

(2)当l1，l2斜率不存在时，

解得m＝3.

此时l1：x＝－，l2：
x＝，满足条件．

综上所述，m＝－4或m＝3.

6.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为(　　)

A.　　　 B．1　　　 C.　　　 D.

解析：利用抛物线定义

A到准线距离|AA′|，B到准线距离|BB′|，[来源:Zxxk.Com]

且|AA′|＋|BB′|＝3，

AB中点M到y轴距离d＝－＝.

答案：C

7．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示
)应是(　　)

8．(2012年东北四校高三模拟)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点为M，若△MAB是直角三角形，则此双曲线的离心率e的值为 (　　)

A. B．2

C. D.

解析：如图所示，△AMF为等腰直角三角形，

|AF|为|AB|的一半，|AF|＝.

而|MF|＝a＋c，

由题意可得，a＋c＝，

即a2＋ac＝b2＝c2－a2，即c2－ac－2a2＝0.

两边同时除以a2可得，e2－e－2＝0，解之得，e＝2.

答案：B

9．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)

A.　　　　　 　B. C．[－，] D.

解析：本小题主要考查直线与圆的位置关系、圆的方程与几何性质．

如图，记题中圆的圆心为C(2,3)，作CD⊥MN于D，则|CD|＝，于是有|MN|＝2|MD|＝2＝2 ≥2，

即4－≥3，解得－≤k≤.

答案：B

10. 已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是 (　　)

A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－

C．x2＝y－ D．x2＝2y－2

解析：把抛物线方程y＝x2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0,1)，

设P(x0，y0)，PF的中点M(x，y)．

由中点坐标公式得

∴

又∵P(x0，y0)在抛物线y＝x2上，

∴2y－1＝(2x)2，即x2＝2y－1.

答案：A

11. 直线kx－y＋2k＋2＝0. (k∈R)经过定点M，则M的坐标为__________．

12. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是

y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为__________． (　　)

解析：∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，∴＝.①

∵抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，

∴－c＝－6.②

又c2＝a2＋b2.③

由①②③得a＝3，b＝3.

∴a2＝9，b2＝27.∴双曲线方程为－＝1.

13.一条光线经过点P(2,3)射在直线x＋y＋1＝0上，反射后，经过点A(1,1)，则光线的反射线所在的直线方程分别为________．

解析： (2)入射光线所在的直线和反射光线所在的直线关于直线x＋y＋1＝0对称，设点P关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为Q(x0，y0)，因此PQ的中点在直线x＋y＋1＝0上，且PQ所在直线与直线x＋y＋1＝0垂直，所以

解得Q(－4，－3)，

∵反射光线经过A、Q两点，∴反射光线所在直线的方程为4x－5y＋1＝0.

答案： (2) 4x－5y＋1＝0

14．命题p：“任意x∈R，使ax2＋4x＋a≥－2x2＋1”是真命题，则实数a的取值范围是___
_____．

15．(2011·苏锡常镇)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是__________________．

解析：∵(x－a)2＋(y－a)2＝4，∴圆心坐标为(a，a)，半径为2，圆心在直线y＝x上，只需考察圆心与原点之间的距离，先画个单位圆，由于圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的半径为2，当a＝时，单位圆与圆(x－a)2＋(y－a)2＝4内切，此时只有切点到原点的距离是1，当a＝时，单位圆与圆(x－a)2＋(y－a)2＝4外切，此时也只有切点到原点的距离是1，而当

答案：

三、解答题

16．(12分)根据下列条件求椭圆的标准方程：

(1) 经过两点A(0,2)和B.

(2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；

解：(1) 设经过两点A(0,2)，B的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，代入A、B得

?，

∴所求椭圆方程为x2＋＝1.

(2) 设椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1，

则由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2
，∴a＝.

在方程＋＝1中令x＝±c得|y|＝

在方程＋＝1中令y＝±c得|x|＝

依题意并结合图形知＝.∴b2＝.

即椭圆的标准方程为

＋＝1或＋＝1.

17．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上
，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲
线上．

(1)求双曲线方程；

(2)求证：·＝0；

(3)求△F1MF2面积．

解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.

∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.

∴双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，

∴c＝2，

∴F1(－2，0)，F2(2，0)，

∴kMF1＝，kMF2＝，

kMF1·kMF2＝＝－.

∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，

故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.

∴·＝0.

法二：∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，

∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2

＝－3＋m2，

∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，

∴
·＝0.

(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.

∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.

18. (12分)已知椭圆C：＋＝1和点P(1,2)，直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．

解：设弦中点为M(x，y)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．

∴(y2－y1)(x－1)＝(x2－x1)(y－2)，①

由＋＝1，＋＝1两式相减得

＋＝0.

又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，

∴＝－，②

由①②可得：9x2＋16y2－9x－32y＝0，③[来源:Zxxk.Com]

当点M与点P重合时，点M坐标为(1,2)适合方程③，

∴弦中点的轨迹方程为：9x2＋16y2－9x－32y＝0.

19．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.[来源:学#科#网]

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．

解：(1)由题意知a＝2，∴一条渐近线为y＝x，

即
bx－2y＝0，∴＝，

∴b2＝3，∴