江苏省扬州中学2013-2014学年高二上学期12月月考试卷

数学试卷

（全卷满分160分，考试时间120分钟） 2013．12

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．命题“
”的否定是 ▲ ．

2．抛物线
的焦点坐标为 ▲ ．

3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为
，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ．

4．已知函数
，则
▲ ．

5．一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为
．则
的概率为 ▲ ．

6．若双曲线
的离心率为2，则
的值为 ▲ ．

7．在不等式组
所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为　 ▲ 　．

8．如图，在三棱柱
中，
分别是

的中点，设三棱锥
的体积为
，三棱柱
的体积为
，则
▲

9．已知椭圆
的离心率
，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为
，则
▲

10．若“
”是 “
”的必要不充分条件，则
的最大值为 ▲ ．

11．已知函数
的图像如图所示，且
．则
的值是 ▲ ．

12． 设
和
为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若
内的两条相交直线分别平行于
内的两条直线，

则
平行于
；

（2）若
外一条直线
与
内的一条直线平行，则
和
平行；

（3）设
和
相交于直线
，若
内有一条直线垂直于
，则
和
垂直；

（4）直线
与
垂直的充分必要条件是
与
内的两条直线垂直．

上面命题中，真命题的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）．

13．已知可导函数

的导函数
满足
＞
，则不等式
的解集是 ▲ ．

14．已知椭圆E：
，椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

求实数
的取值组成的集合
，使当
时，“
”为真，“
”为假．

其中
方程
有两个不相等的负根；
方程
无实数根．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝
，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E为PA的中点．

（1）证明：DE∥平面PBC；

（2）证明：DE⊥平面PAB．

17．（本小题满分15分）

如图，过点
的两直线与抛物线
相切于A、B两点， AD、BC垂直于直线
，垂足分别为D、C．

（1）若
，求矩形ABCD面积；

（2）若
，求矩形ABCD面积的最大值．

18．（本小题满分15分）

如图，在四棱柱
中，已知平面
，

且
．

(1)求证：
;[来源:Z*xx*k.Com]

(2)在棱BC上取一点E，使得
∥平面
，求
的值．

19．（本小题满分16分）

已知椭圆
的左右两焦点分别为
，
是椭圆上一点，且在
轴上方，

．

（1）求椭圆的离心率
的取值范围；

（2）当
取最大值时，过
的圆
的截
轴的线段长为6，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线
上任一点
引圆
的两条切线，切点分别为
．试探究直线
是否过定点？若过定点，请求出
该定点；否则，请说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知函数
(
为实常数) ．

（1）当
时，求函数
在
上的最大值及相应的
值；

（2）当
时，讨论方程
根的个数．

（3）若
，且对任意的
，都有
，

求实数a的取值范围
．

 江苏省扬州中学高二12月月考数学答题纸 2013.12.

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

1． 2． 3． 4．

5． 6． 7．
8．

9． 10． 11． 12． [来源:学科网ZXXK]

13． 14．

二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

15．

16.

17.

18. [来源:Z_xx_k.Com]

（19,20题请写在答题纸反面）

高二数学月考试卷参考答案

2013.12

填空题：

1 ．
2 ．
3．48 4．

5．
6．3 7．
8．

9．
10．-1 11．3 12．（1）（2）

13．
14． 4

解答题：

15．解：

…………………5 分

即
…………………10 分

①

②

…………………13分

综上所述：
…………………14分

16．（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，且EF＝DC＝
．

故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF．

又ED
平面PBC，CF
平面PBC，

故DE∥平面PBC．

（2）因为PD⊥底面ABCD，AB
平面ABCD，所以AB⊥PD．

又因为AB⊥AD，PD
AD＝D，AD
平面PAD，PD
平面PAD，所以AB⊥平面PAD．

ED
平面PAD，故ED⊥AB．又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；

PA
AB＝A，PA
平面PAB，AB
平面PAB，所以ED⊥平面PAB．

17．解：（1）
时，
（详细过程见第（2）问） --------6分

（2）设切点为
，则
,

因为
，所以切线方程为
, 即
，

因为切线过点
，所以
，即
，于是
．

将
代入
得
． [

(若设切线方程为
，代入抛物线方程后由
得到切点坐标，亦予认可．)

所以
， 所以矩形面积为
，
．

所以当
时，
；当
时，
；

故当
时，S有最大值为
． -------15分[来源:学科网ZXXK]

18．证明：（1）在四边形ABCD中，因为BA=BC,DA=DC，所以
．

平面
，且

所以
．[来源:Zxxk.Com]

(2)点E为BC中点，即
,

下面给予证明：在三角形A