2013-2014学年下学期珠海二中高二3月月考数学（理科）试卷

命题：高 贵 彩

一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．

1．若
，则
的解集为

A.
B.
C.
D.

2．用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为
是实数，所以
＞0”，你认为这个推理

A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的

3.“
”是“
有极值”的

A．充分而非必要条件 B．充要条件

C．必要而非充分条件 D．既非充分又非必要条件

4．如图，圆
：
内的正弦曲线
与轴围成的区域记为

（图中阴影部分），随机往圆
内投一个点，则点落在区域
内的概率是

A．
B．
C．
D．

5.等比数列
中，
，
=4，函数
，则

A．
B．
　　　 C．
D．

6.若
则
的大小关系为

A．
B．

C．
D．

7．已知函数
的图象如图所示（其中
是函数
的导函数）．

下面四个图象中，
的图象大致是

　Ａ Ｂ Ｃ　　　　　　　　　Ｄ

8.已知
，若方程
的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则

A.　
B.　
C.　
D.

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中横线上.

9.已知点
是函数
的图像上一点，且
，则该函数

图象在点
处的切线的斜率为 ．

10．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ．

11．已知函数
在定义域内是增函数，则实数
的取值范围是 ．

12．观察下列不等式

，

……

照此规律，第五个不等式为 .

13．已知函数
的图象与
轴恰有两个公共点，则
．

14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含
个小正方形．则
的表达式为__________ .

三、解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

已知
，
是
的导函数，

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的单调递增区间．

16．（本小题满分12分）

设
是二次函数，方程
有两个相等的实根，且
，

（Ⅰ）求
的表达式；

（Ⅱ）若直线
把
的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分,

求
的值.

17．（本小题满分12分）

已知数列{
}中的相邻两项
、
是关于x的方程
的两个根，且
．

(I)求
及写出

(不必证明)；

(Ⅱ)对于任意
，猜想
与
的大小关系．

18．（本小题共14分）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为
，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底
是半椭圆的短轴，上底
的端点在椭圆上，记
，梯形面积为
．

（I）求面积
以
为自变量的函数式，并写出其定义域；

（II）记
, 求
的最大值 及面积
的最大值．

19．（本小题满分14分）

如图所示，等腰
的底边
，高
，点
是线段
上异于点
的动点，点
在
边上，且
，现沿
将
折起到
的位置，使
，记
，
表示
的面积，
表示四棱锥
的体积．

（I）求
和
的表达式；

（II）当
为何值时，
取得最大值？

（Ⅲ）说明异面直线
与
所成的角
与
的变化是否有关系，

若无关，写出
的值(不必写出理由与过程)．

20. （本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线与x轴平行，求a的值；

（Ⅱ）求函数
的极值．

2013-2014学年下学期珠海二中高二3月月考数学（理科）试卷

参考答案

一、选择题：

1．C 2． A 3．D 4． B 5．B 6． D 7． C 8． A

二、填空题：

9．
10．1：8 11．

12．
13．2 14．

三、解答题：

15．解： 由
知

（Ⅰ）由
得
，有

………… 7分

（Ⅱ）由
，

．

当
或
时，
，即
；

因此
的单调递增区间为
． ………… 14分

16．解：

（Ⅰ）由题设知：设
得
，又
，

于是有：
即
，得
； …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）及题设知：
得

即
得
…………12分

17. 解：

(I)方程
的两个根为
．

当k＝1时，
，所以
； 当k＝2时，
，所以
；

当k＝3时，
，所以
； 当k＝4时，
，所以
；

因为n≥4时，
，所以
…………6分

（Ⅱ）当n＝4时，
； 当n＝5时，
；

当n＝6时，
； 当n＝7时，
；

当n＝8时，
； 当n＝9时，
；

所以猜想： 当
时，
； 当
时，
；

当
时，
；…………12分

18．解：

（I）依题意，以
的中点
为原点建立直角坐标系
（如图），

则点
的横坐标为
．点
的纵坐标
满足方程
，

解得

，其定义域为
．………… 7分

（II）依题意，记
， 则
．

令
，得
．因为当
时，
；当
时，
，

所以
是
的最大值． 因此， 当
时，
也取得最大值，

最大值为
． 即梯形面积
的最大值为
．………… 14分

19．解：

（I）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，
，

V(x)=
（
）………… 5分

（II）
，所以
时，
，V(x)单调递增；
时
，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值
；………… 10分

（Ⅲ）无关，
．………… 14分

20.解：

（Ⅰ）
． ………3分

因为曲线
在点
处的切线与x轴平行，

所以
，即
……4分

所以
． …5分

（Ⅱ）
．

令
，则
或
． ……6分

①当
，即
时，
，

函数
在
上为增函数，函数无极值点； ………7分

②当
，即
时．















+

0

-

0

+





↗

极大值

↘

极小值

↗



………………………………………9分

所以 当
时，函数有极大值是
，

当
时，函数有极小值是
； ……………10分

③当
，即
时．















+

0

-

0

+





↗

极大值

↘

极小值

↗



…………………………………12分

所以 当
时，函数有极大值是
，

当
时，函数有极小值是
． ……………………13分

综上所述：

当
时，函数
无极值；

当
时，
，
；

当
时，
，
．

……………………………………14分