时间：120分钟 试卷满分：150分

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 已知条件
，条件
，则
是
成立的的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2. 已知焦点在
轴上的椭圆
，其离心率为
，则实数
的值是（ ）

A．
B．
C．
或
D．

3. 函数
的导数为（ ）

A.
B.

C.
D.

4.若双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
，则该双曲线的渐近线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 函数
的单调递减区间为（　　）

A．(
1,1） B．(0,1] C．[1,+∞) D．(
∞,-1)∪(0,1]

6. 命题：“若
，则
”的逆否命题是（ ）

A．若
，则

B．若
，则

C．若
，则

D．若
，则

7. 若点
分别为椭圆
的中心和左焦点，点
为椭圆上的任意一点，

则
的最大值为 （ ）

A.
B.
C.
D.

8. 若函数
在
上是单调函数,则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

9. 若点
的坐标为
，
是抛物线
的焦点，点
在抛物线上移动时，使
取得最小值的
的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.定义在R上的函数
的图像如图所示，则关于
的不等式
的解集为( 　)

A. (－
2，－1)∪(1,2) B. (－1,0)∪(1，＋∞)

C.(－∞，－1)∪(0,1) D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)

11. 过椭圆
的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若
则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 已知函数
，若同时满足条件：

①
，
为
的一个极大值点；

②


，
。则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 设抛物线
的焦点与双曲线
的上焦点重合，则p的值为 。

14. 已知命题
，
，那么命题
为
。

15. 如图，已知
，图中的一系列圆是圆心分别

为A、
B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，

…，n，…. 利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的

椭圆或双曲线. 若其中经过点
M、N的椭圆的离心率分别

是
，经过点P，Q 的双曲线的离心率分别是
，

则它们的大小关系是 （用“
”连接）。

16. 若函数
在
处有极值10，则
的值为
。

三、解答题（本大题共6个小题，共计70分，要求写出推理过程，演算步骤或文字说明）

17. （本小题满分10分）

已知
的图象经过点
，且在
处的切线方程是

（1）求
的解析式；（2）求
的单调递增区间。

18. （本小题满分12分）

已知
直线
与抛物线
没有交点；
方程
表示椭圆；若
为真命题，试求实数
的取值范围。

19. （本小题满分12分）

已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，长轴长是短轴长的
倍，其上一点到右焦点的最短距离为

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若直线
交椭圆
于
两点，当
时求直线
的方程。

20. （本小题满分12分）

据统计某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时每小时的耗油量
（升）与行驶速度
（千米∕时）之间有如下函数关系：
。已知甲、乙两地相距100千米。

（1）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

21. （本小题满分12分）

如图，已知点D（0，－2），过点D作抛物线
：
的切线l,

切点A在第二象限。

（1）求切点A的纵坐标；

（2）若离心率为
的椭圆
恰好经过A点，设
切线l交椭圆的另一点为B，若设切线l, 直线OA，OB的斜率为k,
,①试用斜率k表示
②当
取得最大值时求此时椭圆的方程。

22. （本小题满分12分）

已知函数
，
。

（1）求函数
的解析式；

（2）若对于任意
，都有
成立，求实数
的取值范围；

（3）设
，
，且
，求证：

。

沈阳二中2013—2014学年度上学期期末考试

高二数学（文科）试题答案

选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．8 14．
，

15．
16．

三、解答题（本大题共6个小题，共计70分，要求写出推理过程，演算步骤或文字说明）[来源:学科网ZXXK]

18．解：因为
为真命题，所以
为真命题且
为真命题--------------------------2分

消去
得

直线与抛物线没有交点，
，解得
------------------------6分

方程
表示椭圆，则

解得
-----------------------10分

由上可知
的取值范围是
-----------------------12分

19. 解：（1）由题可知：
[来源:学,科,网Z,X,X,K]

所以椭圆方程为
------------------------5分

（2）由

设
，则

--------------------9分

所以直线
的方程为：
--------------
----------12分[来源:学+科+网]

20.解：（1）当
时，汽车从甲地到乙地行驶了
（小时），

需耗油
（升）。

所以汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油
升 …4分.

（2）当汽车的行驶速度为
千米∕时时，从甲地到乙地需行驶
小时.

设耗油量为
升，依题意，得

，
.……7分

.

令
，得
.

因为当
时，
，
是减函数；当
时，
，
是增函数，所以当
时，
取得最小值
.

所以当汽车以
千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，

最少为
升。……………………………………………………………… 12分

21．解：（1）设切点A
，依题意则有

解得
，即A点的纵坐标为2 ……………3分

（
2）依题意可设椭圆的方程为
，直线AB方程为：
；由
得
①

由（1）可得A
，将A代入①可得
，

故椭
圆的方程可简化为

； ………………………………5分

联立直线AB与椭圆的方程：
消去Y得：
，则
………………8分

又∵
,∴k∈［－2，－1］；即
……9分

(3)由
可知
上为单调递增函数，故当k=-1时，
取到最大值，此时P＝4，故椭圆的方程为
…12分

（3）证明：由（II），得
，即
，

令
，得
，

令
，得
，

所以

因为
，

所以
，

即
，

所以
，

即
，

所以
。 ………………12分