数学学科（理） 高二年级 命题人 谷志伟 校对人 李慧

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

（1）原命题：“设∈，若，则” 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有（ ）个

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个

（2）抛物线的准线方程是 （ ）

（A）  （B） （C） （D）

（3）已知，，且∥，则 （ ）

（A） （B）

（C） （D）

（4）设
是两个命题，，则是的 （ ）

（A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件

（C） 充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件

（5）在各项都为正数的等比数列{}中，首项 ，前三项和为
，则（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是 （ ）

（A） －y2＝1 （B） －y2＝1

（C） －＝1 （D） x2－＝1

（7）已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到M∈平面ABC的充分条件是 （ ）

（A） ； （B）；

（C） ； （D） 

（8）已知{}为等差数列，，，是等差数列{}的前项和，则使得达到最大值的是 （ ）

（A）21 （B）20 （C）19 （D）18

（9）已知椭圆的离心率为. 双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 （ ）

（A） （B）

（C） （D）

（10）2011年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域{(x，y)|x≥0，y≥0}内植树，第一棵树在点A1(0,1)，第二棵树在点B1(1,1)，第三棵树在点C1(1,0)，第四棵树在点C2(2,0)，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是 （ ）

（A）(13,44) （B）(12,44)

（C）(13,43) （D）(14,43)

（11）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D的平面角为时，AE＝（ ）

（A）1 （B）

（C）2－ （D）2－

（12）设，是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使˙，且=(，则(的值为 （ ）

（A） （B）

（C） （D）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）

（13）命题“若则且”的逆否命题是　　　　　　　　　　　 .

（14）椭圆的左．右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足∠∠，则该椭圆的离心率等于_____________

（15）下列命题：（1）空间向量，共线的充要条件是；（2）空间任意一点和不共线的三点满足，则四点共面；（3）若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直。其中正确的命题序号是_____________

（16） 对于数列{}，定义数列{}为数列{}的“差数列”，若a1＝2，{}的“差数列”的通项为2n，则数列{}的前n项和Sn＝________.

三、解答题（本大题共6小题，共 70分）

（17）（本小题满分10分）

已知命题实数满足，命题实数满足，若是的充分不必要条件，求的取值范围。

（18）（本小题满分12分）

已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且双曲线过点，则过点能否作直线，使与双曲线交于、两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

（19）（本小题满分12分）

已知四棱锥的底面为直角梯形，∥，∠o,⊥底面，且，，是的中点。

（1）求异面直线与所成的角的余弦值；

（2）证明：∥面；

（20）(本题满分12分)

已知数列{}的各项均为正数，为其前项和，且对任意的∈，有

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列{}的前项和.

（21）（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，⊥平面.已知∠°，.

(Ⅰ)证明：∥平面；

(Ⅱ)求异面直线与所成的角；

(Ⅲ)求与平面所成角的正弦值．

（22）（本小题满分12分）

已知分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于，两点，与轴交于点．若λ，μ，证明：λ+μ为定值．

辽宁省实验中学分校2013——2014学年度上学期期末考试（答案）

数学学科 高二年级 命题人 谷志伟 校对人 李慧

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

A

C

B

B

B

D

A

D

B



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）

（13）若或，则

（14）

（15）②③

（16）2n＋1－2　

三、解答题（本大题共6小题，共 70分）

代入点，得( ∴双曲线的方程为 ……4分

设点坐标为，点坐标为

则 由点差法作差得

∴

∴ ……8分

∴直线的方程为 即 ……9分

检验：

化简得

(××

∴直线与双曲线无交点，故直线不存在。 ……12分

（19）（本小题满分12分）

已知四棱锥的底面为直角梯形，∥，∠o,⊥底面，且，，是的中点。

（1）求异面直线与所成的角的余弦值；

（2）证明：∥面；

解：以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系

（1）∵，

∴，，,

∴,

∴

∴ 异面直线与所成的角的余弦值为 ……6分

（2）∵ ∴

又∵⊥面 ∴面的法向量为

∴·

∵(面 ∴∥面 ……12分

（20）(本题满分12分)

已知数列{}的各项均为正数，为其前项和，且对任意的∈，有

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列{}的前项和.

解：（1）由已知得
，∴当
时，
；

∴
，即
，∴当
时，
；

∴数列
为等比数列，且公比
； （…………3分）

又当
时，
，即
，∴
；

∴
. （…………6分）

（2）∵
，∴
；

（…………9分）

∴
的前项和

.

（…………12分）

（21）（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，⊥平面.已知∠°，.

(Ⅰ)证明：∥平面；

(Ⅱ)求异面直线与所成的角；

(Ⅲ)求与平面所成角的正弦值．

解法一：(Ⅰ)证明：∵点
、分别是
、
的中点，

∴
，又∵
平面
，
平面
，

∴
平面
． 4分

(Ⅱ)∵
平面
，∴
，又∵
，且
，

∴
平面
，∴
． 6分

又∵
， ∴四边形
为菱形，

∴
，且
∴
平面
，

∴
，即异面直线