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| 简介：
时间：120分钟 满分：150分 命题人：高冠军 审题人：孙守宦 一．选择题（共12题，每题5分） 1．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( ) A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) B．f′(x0)＝li[f(x0＋Δx)－f(x0)] C．f′(x0)＝ D．f′(x0)＝li 2．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 ( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．已知f(x)＝f′(1)x2，则f′(0)等于( ) A．0 B．1 C．2 D．3 4．关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是( ) A．若a∥M，b∥M，则a∥b B．若a∥M，b⊥a，则b⊥M C．若a⊥M，a∥N，则M⊥N D．若a?M，b?M, 且l⊥a，l⊥b，则l⊥M 5. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( ) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 6．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是( ) A．(，) B．(，) C．(－，) D．(－，－) 7．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( ) A．(-∞，)∪(,2) B．(－∞，0)∪(，2) C．(－∞，∪(，＋∞) D．(－∞，)∪(2，＋∞) 8.已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点 到其渐近线的距离等于( ) A. B. C.3 D.5 9．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A．5 B．8 C.－1 D.＋2 10.一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分长度之比为（ ） A.4∶9 B.2∶1 C.2∶3 D.2∶ 11．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时， f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( ) A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) 12.直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为( ) A．16 B. C．4 D. 二．填空题（共4题，每题5分） 13.如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心， 点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)． 14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________． 15.若函数有大于0的极值点则实数a的取值范围是_______ 16.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y＝x交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为_________ (用a,b表示)． 三．解答题（共6题，第17题为10分，其余各题每题为12分） 17. (10分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值． (1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； (2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程． 18.(12分)如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD， E是侧棱SC的中点，直线SA和AO所成角的大小是45°. (1)求证：直线SA∥平面BDE； (2)求直线BD与平面SBC所成角的正弦值． 19．(12分)若椭圆C1：＋＝1(0 (1)求抛物线C2的方程； (2)若过M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程． 20.( 12分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O. (1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长； (2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值． 21．(12分)如图，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且 (1)建立适当的坐标系，求椭圆方程； (2)如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数λ使？请给出证明． 22．(12分)已知函数f(x)＝，x∈[0,1]． (1)求f(x)的单调区间和值域； (2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围． 高二数学期末答案2014.2 M的位置关系不确定，B错；当a∥b时，l⊥a，l⊥b，l不一定垂直于M，故D错误． 5.[答案] A ＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋)＝c－a＋b，故选A. 6.解析：选C.由，消去y，得3x2＋4x－2＝0， 设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，中点坐标为(x中，y中)， 则x1＋x2＝－，∴x中 ＝－. 从而y中＝x中＋1＝－＋1＝， ∴中点坐标为(－，)． 9.[答案] C [解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1. 10.解析：由截面与底面为相似多边形，可得小棱锥侧棱与大棱锥侧棱之比为 2∶3，所以原棱锥的侧棱被分成的两部分之比为2∶1. 答案：B 11.[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示 ∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D. 12.[答案] B [解析] 由得x2－3x－4＝0， ∴xA＝－1，xD＝4，yA＝，yD＝4， ∵直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)． ∴|AF|＝yA＋1＝，|DF|＝yD＋1＝5， ∴＝＝.故选B. 13. ①②③ 解析：①是四边形在平面ABB′A′或CDD′C′上的投影；②是四边形在平面ADD′A′或BCC′B′上的投影；③是四边形在平面ABCD或A′B′C′D′上的投影． 14.解析：设椭圆方程为＋＝1，由e＝知＝，故＝. 由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝1 15. 16. [答案] ab[解析] 因为右焦点F(c,0)到渐近线y＝x，即bx－ay＝0的距离为＝b，所以|OA|＝2a，故△OAF的面积为×2a×b＝ab. 17.[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意， f′(1)＝f′(－1)＝0，即 解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，………………………………(2分) f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故 f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数． ∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．……………(5分) (2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上． 设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0. ∵f′(x0)＝3(x－1)，故切线的方程为y－y0＝3(x－1)(x－x0)． 注意到点A(0,16)在切线上，有16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)． 化简得x＝－8，解得x0＝－2.∴切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0. ……………(10分) 18．解：(1)连接OE， ∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点． 又∵E是侧棱SC的中点，∴OE∥SA. 又OE?平面BDE，SA平面BDE， ∴直线SA∥平面BDE. ………………………………(4分) (2)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，－2，0)， B(0,2，0)，S(0,0,2)，C(－2，0,0)． ∴＝(0，－4，0)，＝(－2，－2，0)， ＝(0,2，－2)． 设平面SBC的法向量为n＝(x，y,1)， 则有即 解得∴n＝(－1,1,1)．………………………………(9分) 直线BD与平面SBC所成的角记为θ， 则sin θ＝＝＝.………………………(12分) 19.[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝， 由离心率e＝＝＝得，b2＝1. ∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p＝2，抛物线的方程为x2＝4y. ………………………………(5分) (2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)， ∵y＝x2，∴y′＝x， ∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2， 当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1·x2＝－4， 由得：x2－4kx－4k＝0， 由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0. 又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1. ∴直线l的方程为y＝x＋1. ………………………………(12分) 20．解：(1)证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1. 因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC. 因为AB＝AC，OB＝OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB1C1C，又AO＝＝1，AA1＝， 得AE＝＝.………………………………(5分) (2)如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0，－2，0)，A1(0,0,2)， 由＝得点E的坐标是， 由(1)得平面BB1C1C的法向量是＝，………………(7分) 设平面A1B1C的法向量n＝(x，y，z)， 由得 令y＝1，得x＝2，z＝－1，即n＝(2,1，－1)，………(10分) 所以cos〈，n〉＝＝， 即平面BB1C1C与平面A1B1C的夹角的余弦值是.…………… (12分) 21.解：(1)以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0)，椭圆方程可设为＋＝1(0 而O为椭圆中心，由对称性知|OC|＝|OB|.又，所以AC⊥BC.又，所以|OC|＝|AC|，所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C的坐标为(1,1)．将(1,1)代入椭圆方程得b2＝，则椭圆方程为＋＝1. (5分) (2)由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为y－1＝k (x－1)，直线CQ的方程为y－1＝－k(x－1)．由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得 (1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0.①因为C(1,1)在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是xP＝，同理xQ＝.这样，kPQ＝＝. 又B(－1，－1)，所以kAB＝，即kAB＝kPQ.所以PQ∥AB，即存在实数λ使.…………………(12分) 22.[解析] (1)对函数f(x)求导，得 x 0 (0，) (，1) 1 f′(x) － 0 ＋ f(x) － －4 －3 f′(x)＝＝－ 令f′(x)＝0解得x＝或x＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以，当x∈(0，)时， f(x)是减函数； 当x∈时，f(x)是增函数． 当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．……………………(6分) (2)g′(x)＝3(x2－a2)．因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0. | ||||||||||||||||||||||||||||||
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