时间：120分钟 满分：150分 命题人：孙守宦

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为

= 7.19 x +73.93. 用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）

A.身高一定是145.83 cm； B.身高在145.83 cm以上；

C.身高在145.83 cm以下； D.身高在145.83 cm左右.

2. 为了表示个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用（ ）表示

A.
B.
C.
D.

3. 两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数
如下 ，

其中拟合效果最好的模型是（ ）

A.模型1的相关指数
为0.25； B.模型2的相关指数
为0.50；

C.模型3的相关指数
为0.80； D.模型4的相关指数
为0.98.

4. 为研究变量和的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程
和
，两人计算知相同，
也相同，下列正确的是( )

A.
与
一定平行 B.
与
相交于点

C.
与
重合 D.无法判断
和
是否相交

5. 下列求导数运算正确的是（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 动点到点
及点
的距离之差为,则点的轨迹是( )

A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线

7. 椭圆
的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为(　 )

　 A.
　　　　 B.
　　　　　 C.　　　　　 D.

8．已知函数
的导数
=
，若
在
处取得极大值，则函数
的单调减区间为（ ）

A．
B．
　C．
　 D．

9. 三次函数
+5在
内是增函数，则（ ）

A.
>0 B.
<0 C.
=1 D.
=

10. 双曲线的虚轴长为4,离心率
,
、
分别是它的左、右焦点,若过
的直

线与双曲线的左支交于A、B两点,且
是
与
的等差中项,则
等于

( 　)

A.
　　 　 B.
　　 　　 C.
　　 　　D.8.

11. 下图是
的图像，则正确的判断个数是（ ）

（1）f(x)在（-5，-3）上是减函数；

（2）x=4是极大值点；

（3）x=2是极值点；

（4）f(x)在（-2，2）上先减后增；

A.0 B.1 C.2 D.3

12．将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得
,则三棱锥D—ABC的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）

13. 有下列关系： (1) 名师出高徒；

(2) 球的体积与该球的半径之间的关系；

(3) 苹果的产量与气候之间的关系；

(4) 乌鸦叫，没好兆；

(5) 森林中的同一种树，其断面直径与高度之间的关系；

(6) 学生与他（她）的学号之间的关系.

其中，具有相关关系的是________．

14. 在
中,
,若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆

的离心率
________

15．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

16．如图，二面角
的大小是60°，线段
.
，
与
所成的角为30°.则

与平面
所成的角的正弦值是 .

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．(本题满分10分)已知命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；

命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数，当甲、乙有且只有一个是真命题时，求实数a

的取值范围．

18．(本题满分１2分)假设关于某设备的使用年限的所支出的维修费用（万元）有如

下的统计数据

2

3

4

5

6





2．2

3．8

5．5

6．5

7．0



若由此资料知
与
呈线性关系，试求

（1）回归直线方程；

（2）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？

19.（本题满分12分）如图，在直三棱柱

中，
分别是
的中点，

点
在
上，

求证：（Ⅰ）
∥平面

（Ⅱ）平面
平面

20．(本题满分１2分)已知f（x）=2a x－
+lnx在x=－1,x =
处取得极值.

（1）求a、b的值；

（2）若对x∈［
,4］时，f（x）＞c恒成立，求c的取值范围.

21．(本题满分１2分)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，左、右焦点为F1、F2，直线AF2与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆内存在动点P，使|PF1|，|PO|，|PF2|成等比数列(O为坐标原点)，求·的取值范围．

22．(本题满分12分)已知双曲线
的左、右顶点分别为A1、A2，动直线
与圆
相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为

（I）求k的取值范围，并求
的最小值；

（II）记直线
是定值

吗？证明你的结论。

高二文科数学期末答案2014.2

17．解析：当甲为真命题时，记集合A＝{a|(a－1)2－4a2<0}＝，

当乙为真命题时，记集合B＝{a|2a2－a>1}＝.

∴当甲真乙假时，集合M＝A∩(?RB)＝；当甲假乙真时，

集合N＝(?RA)∩B＝.

∴当甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是M∪N＝.

（2）当
时，

估计使用年限为10年时，维修费用为12．38万元

19.（本题满分12分）

证明：（1）因为
分别是
的中点，所以
，又
，
，所以
∥平面
； （6分）

（2）因为直三棱柱
，所以
，
，又
，所以
，又
，所以平面
平面
。 （12分）

20．解:（1）∵f（x）=2ax－
+lnx, ∴f′（x）=2a+
+
.

∵f（x）在x=－1与x=
处取得极值，∴f′（－1）=0,f′（
）=0,

即
解得
∴所求a、b的值分别为1、－1.

（2）由（1）得f′（x）=2－
+
=
（2x2+x－1）=
（2x－1）（x+1）.

∴当x∈［
,
］时，f′（x）＜0;当x∈［
,4］时，f′（x）＞0.∴f（
）是f（x）在［
,4］上的极小值.又∵只有一个极小值，∴f（x）min=f（
）=3－ln2.

∵f（x）＞c恒成立，∴c＜f（x）min=3－ln2。∴c的取值范围为c＜3－ln2.

21. [解析]　(1)圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为(x－3)2＋(y－1)2＝3，

则圆M的圆心为M(3,1)，半径r＝.由A(0,1)，F2(c,0)，(c＝)，得直线AF2：

＋y＝1，即x＋cy－c＝0，由直线AF2与圆M相切，得＝，

解得c＝或c＝－(舍去)．则a2＝c2＋1＝3，故椭圆C的方程为：＋y2＝1.

(2)由(1)知F1(－，0)、F2(，0)，设P(x，y)，

由题意知|PO|2＝|PF1|·|PF2|，即()2＝·，

化简得：x2－y2＝1，则x2＝y2＋1≥1.因为点P在椭圆内，故＋y2<1，即＋x2－1<1，

∴x2<，∴1≤x2<，又·＝x2－2＋y2＝2x2－3，∴－1≤·<0.

,

,故
的取值范围为
.

由于
，

当
时，
取最小值
. 6分

（Ⅱ）由已知可得
的坐标分别为
，

，

，

由①，得
，

为定值. 12分