鱼台一中2013—2014学年高二上学期期末模拟考试

数学（理）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
,
,则“
”是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知两点
、
，且
是
与
的等差中项，则动点的轨迹方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 从集合
中随机选取一个数记为
，从集合
中随机选取一个数记为
，则直线
不经过第三象限的概率为 ( )

A．
B.
C.
D.

4．下列说法中，正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的否命题是真命题

B．
为不同的平面，直线
，则“
”是 “
” 成立的充要条件

C．命题“存在
”的否定是“对任意
”

D．已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件

5.“m=
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 ( )

A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 设
、
分别为双曲线
的左、右焦点.若在双曲线右支上存

在点，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双

曲线的渐近线方程为 ( )

A.
B.
C.
D.

7. 数列
是公差不为零的等差数列，并且
是等比数列
的相邻三项，若

，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 抛物线
的焦点为，准线为，经过且斜率为
的直线与抛物线在轴

上方的部分相交于点，
,垂足为，则
的面积是（ ）

A. B．
C．
D．8

9. 已知
中
的对边分别为
若
且
，则

( )

A. 2 B．4＋
C．4—
D．

10.已知抛物线
上存在关于直线
对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）

A. 3 B. 4 C.
D.

11. 设函数
的定义域为R，
是
的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）

A．
B．
是
的极小值点

C．
是
的极小值点 D．
是
的极小值点

12.已知椭圆
和双曲线
有相同的焦点
是

它们的一个交点，则
的形状是 （ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 随
的变化而变化

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.在棱长为的正方体
中，
与
所成的角为　　　　．

14．已知双曲线
的离心率为2，焦点与椭圆
的焦点相同，那么双曲线的方程为________．

15. 已知双曲线
的两个焦点为F1、F2，点M在双曲线上，若·＝0，则点M到x轴的距离为_________．

16．如右图,
为正方体，棱长为2，下面结论中

正确的结论是________．(把你认为正确的结论都填上, 填序号)

①
∥平面
； ②
⊥平面
；

③过点
与异面直线AD和
成90°角的直线有2条；

④三棱锥
的体积
．

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分10分)

已知命题p：方程x 2 + mx + 1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x 2+4(m –2)x+1>0

的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围。

18.（本小题满分12分）

数列
记

（1）求b1、b2、b3、b4的值；

（2）求数列
的通项公式及数列
的前n项和

19．（本小题满分12分）

根据2012年初发布的《环境空气质量指数AQI技术规定（试行）》，AQI共分为六级，其中：0到50为一级优，51到100为二级良，101到150为三级轻度污染，151到200为四级中度污染，201到300为五级重度污染，300以上为六级严重污染．自2013年11月中旬北方启动集中供暖后北京市雾霾天气明显增多，有人质疑集中供暖加重了环境污染，以下数据是北京市环保局随机抽取的供暖前15天和供暖后15天的AQI数据：

AQI

（0, 50]

（50, 100]

（100,150]

（150,200]

（200,250]

（250,300]

（300,350]



供暖前

2

5

4

2

0

2

0



供暖后

0

6

4

0

3

1

1



（1）通过上述数据计算供暖后空气质量指数为五级重度污染的概率，由此预测2014年1月份的31天中出现五级重度污染的天数；（保留到整数位）

（2）分别求出样本数据中供暖前和供暖后AQI的平均值，由此你能得出什么结论．

20. （本小题满分12分）

已知函数
．

⑴ 若
，求曲线
在点
处的切线方程；

⑵ 若
，求函数
的单调区间；

⑶ 设函数
．若至少存在一个
，使得
成立，求实数的取值范围。

21．（本小题满分12分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，四个顶点分别为为A、B、C、D，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：
为定值；

（3）试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

22.（本小题满分12分）

已知动点P与平面上两定点
连线的斜率的积为定值
.

（1）求点的轨迹方程；

（2）已知定点E（-1，0），若直线
与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．

参考答案：

1-5 ACAAB 6-10 CBCAC 11-12 DB

13.
14.
15.
16.①②④

17．解：因为方程x 2 + mx + 1=0有两个不相等的实根，

所以Δ1=m 2 – 4>0, ∴m>2或m < – 2

又因为不等式4x 2 +4(m – 2)x + 1>0的解集为R，

所以Δ2=16(m – 2) 2– 16<0, ∴1< m <3

因为p或q为真，p且q为假，所以p与q为一真一假，

（1）当p为真q为假时，

（2）当p为假q为真时，

综上所述得：m的取值范围是
或

18.（1）由

整理得

（2）由

所以

19．（1）概率

预测1月份出现五级重度污染的天数为
天

（2）供暖前AQI的平均值

供暖后AQI的平均值

，故供暖后加重了环境污染.

20.解：函数的定义域为
，

（1）当
时，函数
，由
，
．

所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
．

（2）函数
的定义域为
． 由
，
，

（ⅰ）若
，

由
，即
，得
或
；

由
，即
，得
．

所以函数
的单调递增区间为
和
，

单调递减区间为
．

（ⅱ）若
，
在
上恒成立，则
在
上恒成立，此时
在
上单调递增．

21．解：（1）

∴椭圆方程为

（2）

直线CM：

代入椭圆方程

得

（定值）

（3）设存在

则由
从而得m=0

∴存在Q（0，0）满足条件

22. 解：(I)所求曲线的方程为

（2）假若存在这样的k值，由
得

．

　　∴　
．　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　设
，
、
，
，则
　　　　　　　　　②

　而
．

　　要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则
，即
．

　∴
．　　　　　　　　　　　　　　　③

　　将②式代入③整理解得
．经验证，
，使①成立．

　　综上可知，存在
，使得以CD为直径的圆过点E．