宁波市
八校联考高二数学（理）试题

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，
共50分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符
合题目要求的.

1. 已知
是两个命题，若“
”
是假命题，则

A．
都是假命题 B．
都是真命题

C．
是假命题
是真命题 D．
是真命题
是假命题

2.已知水平放置的四边形
的平面直观图
是边长为1的正方形，那么四边形
的面积为

A．
B．1 C.
D.

3.“
”是“曲线
表示椭圆”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.两平行直线
与
之间的距离为

A．
B．
C. 1 D.

5.已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为
，那么它的体积为

A．
B．
C.
D.

6.如图，
为正四面体，
于点
，点

均在平面
外，且在平面
的同一侧，线段

的中点为
,则直线
与平面
所成角的正弦值为

A．
B．
C.
D.

7.过双曲线焦点且与实轴垂直的弦的长等于焦点到渐近线的距离，则双曲线的离心率为

A．
B．2 C.
D.

8.将半径分别为2和1的两个球完全装入底面边长为4的正四棱柱容器中，则该容器的高至少为

A．
B．
C.
D．

9.已知方程
和
，其中,
，它们所表示的曲线可能是下列图象中的

A． B． C． D．

10．抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，且
，弦
中点
在准线
上的射影为
的最
大值为

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.

11.已知
，那么命题“若
中至少有一个不为0，则
.”的逆否命题是 .

12．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、

侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的外接球

的面积为 .

13．曲线
和它关于直线
的

对称曲线总有四条公切线，则
的取值范围____________．

14．
如图，已知
是椭圆
的左、右焦点，

是椭圆短轴的一个端点,
是椭圆上任意一点，过
引

的外角平分线的垂线，垂足为
，则
的最大值

为
．

15．若直线
与曲线
恰有两个不同的的交点，则
____________．

16．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在
轴上，左、右焦点分别为
，且它们在第一象限的交点为
，
是以
为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率的取值范围为
．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．

17．在直角坐标系内，点
实施变换

后，对应点为
，给出以下命题：

①圆
上任意一点实施变换
后，对应点的轨迹仍是圆
；

②若直线
上每一点实施变换
后，对应点的轨迹方程仍是
则
；

③椭圆
上每一点实施变
换
后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；

④曲线
：
上每一点实施变换
后，对应点的轨迹是曲线
，
是曲线
上的任意一点，
是曲线
上的任意一点，则
的最小值为
.

以上正确命题的序号是 （写出全部正确命题的序号）.

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（本题满分14分）

对直线
和平面
，在
的前提下，给出关系：①
∥
，②
，③
.以其中的两个关系作为条件，另一个关系作为结论可构造三个不同的命题，分别记为命题1、命题2、命题3.

（Ⅰ）写出上述三个命题，并判断它们的真假；

（Ⅱ）选择（Ⅰ）中的一个真命题，根据题意画出图形，加以证明.

19.（本题满分14分）

如图，斜三棱柱
的侧棱长为
，底面是边长为1的等边三角形，
，
分别是
的中点.

（Ⅰ）求此棱柱的表面积和体积；

（Ⅱ）求异面直线
与
所成角的余弦值.

20.（本题满分14分）

已知平面内的动点
到两定点
、
的距离之比为
.

（Ⅰ）求
点的轨迹方程；

（Ⅱ）过
点作直线，与
点的轨迹交于不同两点
、
，
为坐标原点，求
的面积的最大值.

21.（本题满分15分）

如图，矩形
所在的半平面和直角梯形
所在的半平面成
的二面角，
∥
,
,
,
,
,
.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）在线段
上求一点
，使锐二面角
[来源:学#科#网]

的余弦值为
.

22.（本题满分15分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在
轴上，离心率为
，过椭圆上一点
作倾斜角互补的两条直线，分别交椭圆于不同两点
、
.

（Ⅰ）求证：直线
的斜率为一定值；

（Ⅱ）若直线
与
轴的交点
满足：
，求直线
的方程；

（Ⅲ）若在椭圆上存在关于直线
对称的两点，求直线
在
轴上截距的取值范围.

宁波市 八校联考高二数学（理）答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置.

11. 若
,则
都为0. 12.
13.
14. 32

15.
16.
17. ①③④

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（Ⅰ）命题1：若
∥
，
，则
.真命题

命题2：若
∥
，
，则
.假命题

命题3：若
，
，则
∥
.真命题 ………………………………6
分

（Ⅱ）下面证明命题1.

示意图如右 …………………………………………………………………………8分

过直线
作平面
，使
与
相交，设交线为
,…10分

因为
∥
，所以
∥
，①…………………………12分

因为
，
，所以
,② ………………13分

由①、②知，
，即
.………………………14分

（证明命题3的参照评分）

19. （Ⅰ）过
作
平面ABC，垂足为
，过
作
于
,连
,则

,

作
于
,连
，则

，

又
，所以
，
，所以
，从而
在
平分线上，…………………………………………………………2分

由于
为正三角形，所以
，所以
.……………
………………………………………3分

在
中，计算得
=
=1,在
中,计算得
,在
中,计算得
,

棱柱的表面积
，……………………5分

体积
. ………………………………………7分

（Ⅱ）因为
，

所以
，

解得
， ………………………………………………………………………10分

又
，

所以

， ………………………………………………13分

即异
面直线
与
所成角的余弦值. ………………………………………………14分

20.（本题满分14分）

（Ⅰ）设
则由题设知
，即
，

化简得，
，即为所求的
点的轨迹方程. ………………………5分

（Ⅱ）易知直线
斜率存在且不为零，设直线
方程为

由
消去
得，
，

由
得，解得
，

所以
. ……………………………………………………………………8分

设
，则
，

，[来源:学|科|网Z|X|X|K]

， …………………………11分

令
，考察函数
，
，

，
，即
时取等号，此时
,即
的面积的最大值为1. ……
…………………………………14分

21.（本题满分15分）

（Ⅰ）因为
∥
,
平面
，所以
∥平面
，

同理
∥平面
，又因为
,所以平面
∥平面
,

而
平面