广东实验中学2013—2014学年（上）高二级模块考试

数 学 （理科）

本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B铅笔填涂学号．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签
字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

第一部分 基础检测(共100分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如图，在空间直角坐标系中，正方体
的棱长为
，
，则点
的坐标为(　　)

A．
B．
C．
D．

2．已知命题
存在两个相交平面垂直于同一条直线；命题
:空间任意两个非零向量总是共面的.给出下列四个命题：⑴
，⑵
，⑶
，⑷
，其中真命题的个数为：（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．若椭圆
＋y2＝1上一点A到焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为( )．

A．1 　 B．2 　 　C．3 　　　 D．4

4．已知
是直线，
是平面，且
，则“
”是“
”的( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充
分也不必要条件

5．如图.平行六面体
中,

，则
等于（ ）

A．1 B．
C．
D．

6．关于直线
与平面
，有以下四个命题：

①若
，则
②若

③若
④若

其中真命题个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．如图，在正三棱柱
中，若
， 则

所成的角的大小为（ ）

8．已知双曲线

的离心率为
，则
的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．如图：
的二面角的棱上有
两点，直线
分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于
. 已知
则
的长为 ( )

A．
B．6 C．
D．8

10．如果点P在以F为焦点的抛物线x2＝2y上，且∠POF＝60o(O为原点)，那么△POF的面积是( )．

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．轴
截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面
展开图扇形的圆心角为_________弧度。

12．若某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的体积为_________.

[来源:学科网]

13．如图：把正方形
沿对角线
折起,当以
四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线
和平面
所成的角的大小为___________。

14．①若直线
的方向向量与平面
的法向量的夹角等于120°，则直线
与平面
所成的角等于30°

②在
中，“
”是“
三个角成等差数列”的充要条件.

③已知
,则
是
的充要条件；

④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若
(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面。

以上四个命题中，正确命题的序号是___________.

三、解答题：本大题共3小题，每项小题10分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（10分）已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设
＝
，
＝
.

（1）求
和
的夹角的余弦值；

（2）若向量k
＋
与k
－2
互相垂直，求实数k的值．

16．（10分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．

（1）求证：直线BD1∥平面PAC；

（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；

（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．

17．(10分) 已知椭圆
(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝
，|PF2|＝
．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．

第二部分 能力检测(共50分)

四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．

18．（1）直三棱柱
的各顶点都在同一球面上，若
,

，则此球的表面积等于 。

（2） 已知：
是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a、b
，满足：

，且
，则数列{an}的通项公式

an=_____.

五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（13分）已知向量
，
，

（1）求
的单调区间；

（2）已知A为△ABC的内角，
分别为内角
所对边。若
求△ABC的面积。

20．（13分）如图，已知三棱锥
的侧棱
两两垂直，且
，
，
是
的中点。

（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（2）求点E到面ABC的距离。

（3）求二面角
的平面角的正切值。

[来源:学科网]

21．（14分）

已知数列｛
｝满足
,

（1）求数列｛
｝的通项公式；

（2）若数列｛
｝满足
，且
。求数列
的通项公式；

（3）证明：

广东实验中学2013—2014学年（上）高二级期末考试·理科数学

参考答案

1-10：BBBAA BBCAC

11.
12.2 13．
14.①②

15． 解：a＝(－1＋2, 1－0,2－2)＝(1,1,0)，

b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)． ………..2分

(1)cosθ＝＝＝－.

∴a和b的夹角的余弦值为－. ………..5分

(2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，

ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)． ………..7分

∴(k－1，k,2)·(k＋2, k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，

即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2.
………..1
0分

16．

解：（1）证明：设AC和BD交
于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1， .......................1分

∵PO
平面PAC，BD1
平面PAC，所以，直线BD1∥平面PAC．.........3分

（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC． ...........
.................5
分

∵BD
平面BDD1B1，D1D
平面
BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC
平面PAC，∴平面PA
C⊥平面BDD1B1 ． ...............7分

（3）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角． .......................8分[来源:Zxxk.Com]

依题意得
，
，在Rt△CPO中，
，∴∠CPO=30°

∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°． ...........................10分



 (本题如建系,请参照给分)

17. (1)：由|PF1|＋|PF2|＝2a，知a＝3．

又PF1⊥F1F2，在Rt△PF1F2中，有(2c)2＋|PF1|2＝|PF2
|2，有c＝
．

∴b＝
＝2．所以
． ……4分

(2)已知直线l过(－2，1)， ………5分

当k存在时，设直线y＝kx＋2k＋1代入椭圆方程.[来源:Z,xx,k.Com]

整理有：(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0. ………7分

由韦达定理可知x1＋x2＝－
＝2×(－2)＝－4. …………8分

∴k＝
. 即8x－9y＋25＝0. …………9分

当k不存在时，直线l为x＝－2，不合题意舍去.

即l的方程为8x－9y＋25＝0. ……1
0分

18.（1）
（2）

19．

……………..3分

…………………9分

………………….11分

…………………13分

20.

又，

……………….9分

（3）（2）中已求平面ABC的法向量
，设平面EAB的法向量为

取
。 …………11分

。 ………………..12分

设二面角
的平面角为
，则
。 …….13分

(本题用传统几何法参照评分)

21．

8分

①中令
得
,
.
………………………9分

……………………………………………10分[来源:Z_xx_k.Com]

………………………………………………14分