嘉兴市2013～2014学年第一学期期末检测

高二理科数学（B） 参考答案 （2014.1）

一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）

1．A； 2．D； 3．C； 4．B； 5．C； 6．B；

7．D； 8．D； 9．C； 10．A； 11．B． 12．B．

二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）

13．
； 14．锐角三角形； 15．
；

16．
； 17．
； 18．
．

三、解答题（本大题共6小题，第19、20题各6分，21、22、23题各8分，24题10分，共46分）

19．（本题满分6分）

已知
，求证：
．

解：因为
， ……………3分

且
，即
．

所以
． ………………6分

20．（本题满分6分）

已知命题：对任意实数，
恒成立，命题：函数

的图象是开口向上的抛物线.若“
”为假，“
”为真，求实数的取值范围．

解：由命题p可得
，所以
，

由命题q可得m-1>0，即m>1． ……………2分

又因为“
”为假，“
”为真，所以
中一真一假．可得：

或
． …………4分

解得：
或
． …………6分

21．（本题满分8分）

已知空间三点
，设
，求

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）平面ABC的一个法向量
．

解：

（Ⅰ）
，
，

所以
，
，
； ………………2分

所以
，所以
． …………………4分

（Ⅱ）设
，则由
，可得
；……………6分

取
，

可得平面ABC的一个法向量为
． ………………8分

22．（本题满分8分）

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，现将△AED，

△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于点
，得到三棱锥
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求
与平面DEF所成角大小的正切值．

解：

（Ⅰ）由题意可知，
，
；所以
平面
．…2分

又因为
平面
，所以
． ……………………4分

（Ⅱ）如图，取EF中点G，连
和
，

可得
，所以
平面
． ……………………5分

在平面
，过点
作
于M，

可得
，所以
平面DEF．

所以
即为所求线面角．……………………………6分

又
，
，所以
．

所以
与平面DEF所成角大小的正切值为
． ………………………8分

23．（本题满分8分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）当
时，求
的值域；

（Ⅱ）若不等式
在给定定义域
恒成立，求实数的取值范围．

解：

（Ⅰ）当
时，
，…………………1分

又因为
，所以
，

故此时
的值域[0,30] ． …………………3分

（Ⅱ）由题意可得，
在
恒成立……………………4分

所以
，在
恒成立 ………………5分

所以
，

故实数的取值范围为
． …………………8分

另解：由题意可得，
，所以
． …………………4分

又因为
，

（1）若
，则
在
上递增，在
上递减，在
上递增，

所以只需
即
即可，解得
； ………………6分

（2）若
，则
在
上递增，在
上递减，此时只需
，解得此时不存在这样的a．

综上，实数的取值范围为
． ………………8分

24．（本题满分10分）

如图，底面为梯形的四棱锥P-ABCD中，
底面ABCD，BC//DA，
，

PC=BC=2AC=2，AD=
，M为PB中点，N为线段PA上一动点．

（Ⅰ）在线段PA上是否存在这样的点N，使得MN//平面PCD？若存在，试求PN长

度；若不存在，请说明理由．

（Ⅱ）设二面角C-MN-A的大小为，若

，试求PN的取值范围．

解：

（Ⅰ）以点C为原点，CA，CB，CP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

所以
，
，
，
，
，
．……1分

假设存在这样的点，使得MN//平面PCD．设
，则
，所以
． ……………………2分

设平面CDP的法向量为
，又因为
，
，

由
可得
，取
． …………………4分

所以由
，解得
．所以此时
．…………………5分

（Ⅱ）设平面CMN的法向量为
，又因为
，又设
，则
，所以
．

由
可得
，取
．……………6分

同理，设平面AMN的法向量为
，可求得
． …7分

所以
， ………………8分

又因为
，所以
，解得
． ……9分

所以
．

故PN的取值范围是
． …………10分

命题人：沈勤龙、凌农甫、李富强、吴明华