嘉兴市2013～2014学年第一学期期末检测

高二文科数学（B） 参考答案 （2014.1）

一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）

1．A； 2．D； 3．C； 4．B； 5．C； 6．B；

7．B； 8．D； 9．C； 10．A ； 11．B； 12．B．

二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）

13．
R,
； 14．6； 15．
；

16．4； 17．
； 18．
．

三、解答题（本大题共6小题，第19、20题各6分，21、22、23题各8分，24题10分，共46分）

19．（本题满分6分）

已知
，求证：
．

证：因为
， ……………………………3分

且
，即
．

所以
． ……………………………6分

20．（本题满分6分）

已知命题：对任意实数，
恒成立，命题：函数

的图象是开口向上的抛物线.若“
”为假，“
”为真，求实数的取值范围．

解：由命题p可得
，所以
，

由命题q可得m-1>0，即m>1． ……………………………2分

又因为“
”为假，“
”为真，所以
中一真一假．可得：

或
． ……………………………4分

解得：
或
． ……………………………6分

21．（本题满分8分）

如图，长方体ABCD-
中，
,

,
.求：

（Ⅰ）该长方体的表面积；

（Ⅱ）三棱锥
的体积．

解：设
,
，
.

则
……………………………2分

所以
……………………………3分

（Ⅰ）所以长方体的表面积为94 ……………………………5分

（Ⅱ）所以棱锥
的体积20 ……………………………8分

22．（本题满分8分）

如图，三棱锥
中，
,
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若为
的中点，求
与平面
所成角的正弦值.

解：

（Ⅰ）取
中点，则
，
；

所以
平面
……………………………2分

又因为
平面
，所以
． ……………………………4分

（Ⅱ）如图，作
平面
，垂足为，

连接
作
,垂足为，则
，故
平面
，

所以
即为所求线面角 ……………………………6分

又
,
， 所以

所以
与平面
所成角的正弦值
……………………………8分

23．（本题满分8分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）当
时，求
的值域；

（Ⅱ）若不等式
在给定定义域
恒成立，求实数的取值范围．

解：

（Ⅰ）当
时，
，………………………1分

又因为
，所以
，

故此时
的值域[0,30] ． ……………………………3分

（Ⅱ）由题意可得，
在
恒成立……………………………4分

所以
，在
恒成立 ……………………………5分

所以
，

故实数的取值范围为
． ……………………………8分

24．（本题满分10分）

如图，将一副三角板平放在桌面上拼好，其中
，
,

.

（Ⅰ）若将
沿
折起，使二面角
为直二面角，求
的长度；

（Ⅱ）若将
沿
折起，使点在平面
的射影在
上，求此时二面角

大小的余弦值.

解：（Ⅰ）作
于，连接
，

因为二面角
为直二面角,所以平面
平面
，

所以
平面
，
. ……………………3分

由已知可得
，
，
……………………5分

（Ⅱ）作
平面
，垂足为
，则
，作
于，连接
,

则
，所以
是二面角
的平面角 ……………………7分

，
……………………9分

所以

所以二面角
大小的余弦值为
. ……………………10分

命题人：沈勤龙、凌农甫、李富强、吴明华