时量 120分钟 总分 150分

一、选择题（8×5＝40分）

已知抛物线的焦点是F（0，－2），则它的标准方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

已知命题p：在锐角三角形ABC中， A，B，使sinA0，给出下列结论：

①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∨q”是真命题；

③命题“p∨q”是假命题； ④命题“p∧q”是假命题；

其中正确结论的序号是（ ）

A．②③ B．②④ 　 C．③④ 　　 D．①②③

在△ABC中，已知a＝
，b＝
，B＝60°，则角A等于（ ）

A．45° B．135° C．45°或135° D．60°或120°

有下列三个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“若a>b，则a2>b2 ”的逆否命题；

③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题.

其中正确命题的序号是（ ）

A．① B．② C．③ 　 D．①③

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
　 C．2－
D．
－1

已知函数y＝
的导函数y＝
的图象如下图所示，则（ ）

A．函数
有1个极大值点，1个极小值点

B．函数
有2个极大值点，2个极小值点

C．函数
有3个极大值点，1个极小值点

D．函数
有1个极大值点，3个极小值点

设数列
（n∈N*）是等差数列，
是其前n项和，d为公差，且
<
，
＝
，给出下列五个结论，正确的个数为（ ）

①d<0； ②
＝0； ③
＝－
；

④
＝
； ⑤
与
均为
的最大值.

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（7×5＝35分）

在等比数列
中，
＝1，
，则
＝ .

在离水平地面300m高的山顶上，测得水平地面上一竖直塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为 m.

已知直二面角－l－
，A∈，B∈
，A，B两点均不在直线l上，又直线AB与l成30°角，且线段AB＝8，则线段AB的中点M到l的距离为 .

若双曲线C与双曲线
－
＝1有相同的渐近线，且过点A（3，
），则双曲线C的方程为 .

＝ .

设A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|x2－ax

对正整数n，设曲线y＝
在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为
，则数列
的前n项和是 .

三、解答题（本大题共有6道小题，75分）

（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a，b，c成等差数列，sinB=
且△ABC的面积为
，求b.

（本小题满分12分）如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB， M是EC的中点.

（1）求证：DM⊥EB；

（2）求二面角M—BD—A的余弦值.

（本小题满分12分）已知函数f (x)＝x2－4，设曲线y＝f (x)在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn＋1，0）（n∈N*），其中x1为正实数.

（1）用xn表示xn＋1；

（2）若x1＝4，记an＝
，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式.

（本小题满分13分）已知椭圆M：
＋
＝1（a>b>0）的一个顶点A的坐标是（0，－1），且右焦点Q到直线x－y＋2
＝0的距离为3.

（1）求椭圆方程；

（2）试问是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使l与椭圆M有两个不同的交点B、C，且|AB|＝|AC|？若存在，求出k的范围，若不存在，说明理由.

（本小题满分13分）某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用（即有400公斤不需要保管费）.

（1）设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；

（2）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少（小）值；

2013年下学期期末考试高二理科数学试卷

参考答案

一、选择题：（每小题5分，共40分）

DBAA ADAD

二、填空题：（每小题5分，共35分）

三、解答题：（本大题共75分）

16、（本小题满分12分）

解：由a，b，c成等差数列，得：a+c=2b，∴a2+c2=4b2－2ac……①

又S△ABC=
且sinB=
，∴S△ABC=
ac·sinB=
ac×
=
ac=
，

∴ac=
……②，由①②得：a2+c2=4b2－
……③

又∵sinB=
且a，b，c成等差数列，∴cosB=
=
，

由余弦定理得：b2=a2+c2－2ac·cosB= a2+c2－2×
×
= a2+c2－
……④

由③④可得：b2=4，∴b=2.

17、（本小题满分12分）

证明：（1）过点M作MN⊥BE于N，则N为BE的中点，

且MN∥CB∥DA，连结AN，

∵EA=AB且EA⊥AB，又N为BE的中点，

∴AN⊥BE，又∵DA⊥平面EAB，∴DA⊥BE，

∴BE⊥面ANMD，∴BE⊥DM，即DM⊥EB.

解：（2）以A为原点，AE，AB，AD分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，A—xyz，设AB=2，则A（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2），

M（1，1，
），
=（－1，1，－
），
=（－1，－1，
），

显然，
=（2，0，0）为平面ABD的法向量，设平面MBD的法向量为
=（x，y，z），由
，得
，令z=2，得x=1，y=2，∴取
=（1，2，2）

设二面角M—BD—A的平面角大小为
，∵
∈（0，90°），

∴cos
=
=
=
=
.

18、（本小题满分12分）

解：（1）∵
＝2x，∴切线斜率k＝2xn，∴切线方程：y－（
－4）＝2xn（x－xn），

即y＝2xn·x－
－4，令y＝0得：x＝
，∴xn＋1＝
（n∈N*）.

19、（本小题满分13分）

解：（1）由题意知：b＝1，设Q(c，0)（c>0），则
＝3，∴c＝
，∴a2＝b2＋c2＝3，∴椭圆M：
＋
＝1.

（2）设l：y＝kx＋m（k≠0），代入椭圆M的方程得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0，

由△>0得：(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)>0
3k2>m2－1……①

设B（x1，y1）、C（x2，y2），则BC中点P（
，
），且
＝－
，

∴
＝k×
＋m＝
，∴P（－
，
），

∵|AB|＝|AC|，∴AP⊥BC，即kAP·kBC＝－1，∴
＝－
，∴m＝
(1＋3k2)……②，

由①②得：(1＋3k2)(1－k2)>0，∴－1

∴存在满足条件的直线l，其斜率k∈(－1，0)∪(0，1).

20、（本小题满分13分）

解：（1）∵第一天的保管费a1＝(400x－400)×0.03＝12x－12；

第二天的保管费a2＝12x－24，……，组成一个公差为－12的等差数列，

其中项数为：x－1项，（x∈N*，x>1).

∴y1＝(x－1)×12(x－1)＋
＝6x2－6x（x∈N*，x>1)

（2）y＝
·(y1＋600＋400x·1.5)＝6x＋
＋594≥120＋594＝714(元).

当且仅当6x＝
，即x＝10(天)时取“＝”号，

∴当10天购买一次，最少费用为714元.

21、（本小题满分13分）

（2）由（1）知，F(x)≥F(2)＝2－2ln2＋2a＝ln
＋2a，∴x
≥ln
＋2a（x>0），

∴
≥
·(ln
＋2a)>0，∴
在（0，＋∞）上为增函数，

∴当x>1时，
>
，∴x－1－ln2x＋2alnx>1－1－0＋0，

即x－1－ln2x＋2alnx>0，∴x>ln2x－2alnx＋1.