年级：高二 科目：数学（理科）命题人：齐俊丽 审题人：王俊

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设
，则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是（ ）

A．在
轴上 B．在
平面内 C．在
平面内 D．在
平面内

2．抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“3点或6点向上”，事件 D为“4点或6点向上”．则下列各对事件中是互斥但不对立的是（ ）

A．A与B B．B与C C．C与D D．A与D

3. 从集合
中随机选取一个数记为
，从集合
中随机选取一个数记为
，则直线
不经过第三象限的概率为 ( )

A．
B.
C.
D.

4．下列说法中，正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的否命题是真命题

B．
为不同的平面，直线
，则“
”是 “
” 成立的充要条件

C．命题“存在
”的否定是“对任意
”

D．已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件

5．设
，将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的
值及其统计意义分别是（ ）

A．
，即
个数据的方差为
B.
，即
个数据的标准差为

C.
，即
个数据的方差为
D.
，即
个数据的标准差为

6．在区间[0, 1]上任取三个数
，若向量

，则
的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

7． 双曲线
上的点P到点(5, 0)的距离是15, 则点P到点(－5, 0)的距离是（ ）

A．7 B．23 　 C．11或19 D．7或23

8. 设双曲线
的一条渐近线与抛物线
的一个交点的横坐标为
，若
，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．设椭圆
(
)的离心率
，右焦点
，方程
的两个根分别为
，
，则点
在(?? )

A．圆
内 B．圆
上 C．圆
外 D．以上都有可能

10. 在平面直角坐标系
中，
，映射
将
平面上的点
对应到另一个平面直角坐标系
上的点
，则当点P沿着 折线
运动时，在映射
的作用下，动点
的轨迹是 （ ）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．设平面区域
是由双曲线
的两条渐近线和抛物线
的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点
，则目标函数
的最大值与最小值之和为　 　．

12．在极坐标中曲线
与
的两交点之间的距离为 .

13． 长为3的线段AB的端点A、B分别在x、y轴上移动，动点C（x，y）满足
，则动点C 的轨迹方程是??????????????? ??????? ?．

14. 从一块短轴长为
的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是
，则该椭圆离心率
的取值范围是 ．

15．以下四个关于圆锥曲线的命题中真命题的序号为 ．

①设A、B为两个定点，k为正常数，
，则动点P的轨迹为椭圆；

②双曲线
与椭圆
有相同的焦点；

③若方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则
；

④到定点
及定直线
的距离之比为
的点的轨迹方程为
．

三、解答题（本大题共6小题，其中第16、17、18、19小题各12分，第20题13分，第21题14分，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16． 已知
：方程
表示焦点在
轴上的双曲线，
：方程
=(
一
)
表示开口向右的抛物线．若“


”为真命题，“


”为假命题，求实数
的取值范围．

17．根据2012年初发布的《环境空气质量指数AQI技术规定（试行）》，AQI共分为六级，其中：0到50为一级优，51到100为二级良，101到150为三级轻度污染，151到200为四级中度污染，201到300为五级重度污染，300以上为六级严重污染．自2013年11月中旬北方启动集中供暖后北京市雾霾天气明显增多，有人质疑集中供暖加重了环境污染，以下数据是北京市环保局随机抽取的供暖前15天和供暖后15天的AQI数据：

AQI

（0, 50]

（50, 100]

（100,150]

（150,200]

（200,250]

（250,300]

（300,350]



供暖前

2

5

4

2

0

2

0



供暖后

0

6

4

0

3

1

1



（1）通过上述数据计算供暖后空气质量指数为五级重度污染的概率，由此预测2014年1月份的31天中出现五级重度污染的天数；（保留到整数位）

（2）分别求出样本数据中供暖前和供暖后AQI的平均值，由此你能得出什么结论．

18．三棱柱
中，
分别是
、
上的点，且
，
．设
，
，
.

（1）试用
表示向量
；

（2）若
，
，

，求MN的长.

19．如图所示，设抛物线
的焦点为
，且其准线与
轴交于
，以
，
为焦点，离心率
的椭圆
与抛物线
在
轴上方的一个交点为P.（1）当
时，求椭圆
的方程；

（2）是否存在实数
，使得
的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数
；若不存在，请说明理由.

20．如图，在边长为4的菱形
中，
．点
分别在边
上，点
与点
不重合，
，
．沿
将
翻折到
的位置，使平面
⊥平面
，点
满足
(
)．

（1）求证：
⊥平面
；

（2）求
的最小值，并探究此时直线
与平面
所成的角是否一定大于
？

21．已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，四个顶点分别为为A、B、C、D，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：
为定值；

（3）试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

年级：高二 科目：数学（理科）

18．解：（1）

. 6分

（2）

，

，
12分

∴

． 12分

又∵
∴
．∵
，∴
．

因此直线
与平面
所成的角大于
，即结论成立． 13分