三亚市第一中学2013-2014学年度第一学期

高二年级期末考试数学（理科A卷）试题

命题人：吕万田 审题人：龙运德

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2．回答第I卷时，每小题选出答案后写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后写在答题卡上，在本卷上作答无效。）

1. 命题“若
，则
”的逆否命题是

A. 若
，则
B. 若
，则

C. 若
，则
D. 若
，则

2. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的

中线长为

A.2 B.3 C.4 D.5

3. 已知命题
，其中正确的是

A.
B.

C.
D.

4. 已知椭圆
，若其长轴在
轴上.焦距为
，则

等于

A.
. B.
. C.
.
D.
.

5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆
的圆心的抛物线的方程是

A．
或
B．

C．
或
D．
或

6．在同一坐标系中，方程
与
的曲线大致是

7．已知双曲线
的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线
的焦点,则此双曲线的渐近线方程是

A．
B．
C．
D．

8.与圆
以及
都外切的圆的圆心在

A.一个椭圆 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上

9.在正方体
中，
是棱
的中点，则
与
所成角的余弦值为

A．
　 　B．
　　 C．
　 　D．

10．如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，

则
等于

A．
B．

C．
D．

11.试在抛物线
上求一点P，使其到焦点F的距离与到
的距离之和最小，则该点坐标为

A.
B.
C.
D.
[来源:学科网]

12．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：

（1）“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件；

(2) “
”是“
”的充要条件；

(3) “
”是“
”的必要不充分条件；

（4）“
”是“
”的必要不充分条件.

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

[来源:Zxxk.Com]

第Ⅱ卷[来源:Zxxk.Com]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的指定位置。）

13.已知向量
且
与
互相垂直，则k的值是________.

14.椭圆
的离心率为
，则
的值为______________.

15.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度是________米。

16.①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；

②在
中，“
”是“
三个
角成等差数列”的充要条件.

③
是
的充要条件；

④“am2

以上说法中，判断错误的有___________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案的过程写在答题卷中指定的位置。）

17.（本小题满分10分）设
：方程
有两个不等的负根，

：方程
无实根，若p或q为真，p且q为假，求
的取值范围．

18.（本小题满分10分）已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2．从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP'，求线段PP’中点M的轨迹．

19.（本小题满分12分）在四棱锥
中，底面
是边长为1的菱形，
,
,
,
为
的中点，
为
的中点，

（Ⅰ）证明：直线

；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

20．（本小题满分12分）如图所示，F1、F2分别为椭圆C：
的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点
到F1、F2两点的距离之和为4.

（1）求椭圆C的方
程和焦点坐标；

（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积.

[来源:学科网ZXXK]

21．（本小题满分14分）已知四棱锥
的底面为直角梯形，
，
底面
，且
，
，
是
的中点。

（Ⅰ）证明：面
面
；

（Ⅱ）求
与
所成角的余弦值；

（Ⅲ）求面
与面
所成二面角的大小余弦值。

22.（本小题满分12分）如图，已知
，
分别是椭圆
：
（
）的左、右焦点，且椭圆
的离心率
，
也是抛物线
：
的焦点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
交椭圆
于
，
两点，且
，点

关于
轴的对称点为
，求直线
的方程．

三亚市第一中学2013-2014学年度第二学期

高二年级期末考试数学（理科A卷）答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后写在答题卡上，在本卷上作答无效。）

C B C D D DA B BC AA

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的指定位置。）

13.
14.
15.

16．③④

三、解答题（本大题共6
小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案的过程写在答题卷中指定的位置。）

17. 解：若方程
有两个不等的负根，则
，

所以
，即
．

若方程
无实根，则
，

即
， 所以
．

因为
为真，则
至少一个为真，又
为假，则
至少一个为假．

所以
一真一假，即“
真
假”或“
假
真”．

所以
或

所以
或
．

故实数
的取值范围为
．

18. 解：设点 M的坐标为
，点
的坐标为
，则

，
．

　　因为
在圆
上，所以
①

　　将
，
代入方程①得

　　
即
1

　　所以点M的轨迹是一个椭圆

19. 解： 作
于点P,如图,分别以AB,AP,AO所
在直线为
轴建立坐标系

(Ⅰ)

设平面OCD的法向量
为
,则

即

取
,解得

(Ⅱ)设
与
所成的角为
,

,
与
所成角的大小为

20. 解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2， 将点
代入椭圆方程得
，

解得b2 = 3

∴c2 = a2－b2 = 4－3 = 1 ，故椭圆方程为
，

焦点F1、F2的坐标分别为（-1
，0）和（1，0）

（2）由（Ⅰ）知
，
，

∴PQ所在直线方程为
，

由
得

设P (x1，y1)，Q (x2，y2)，则
，

21．证：以
为坐标原点
长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

.

（Ⅰ）证明：因

由题设知
，且
与
是平面
内的两条相交直线，由此得
面
.又
在面
上，故面
⊥面
.

（Ⅱ）解：因

故
与
所成角的余弦值为

（Ⅲ）设平面AMC的法向量为
，平面
的法向量为

则
而

所以
令x1=1，则y1=-1, z1=2

,同理

[来源:Z*xx*k.Com]

故面
与面
所成二面角的大小余弦值为
.

22. 解：（Ⅰ）因为抛物线
的焦点是
，

则
，得
，则
，

故椭圆
的方程为
．

（Ⅱ）显然直线
的斜率不存在时不符合题意，可设直线
：
，设
，
，由于
，

则

联立
，
，

则
，……①
，……②，
代入①、②得，

，……③
，……④ 由③、④得
，

，
，

（i）若
时，
，

，

即
，
，

，

直线
的方程是
；

（ii）当
时，同理可求直线
的方程是
．