座位号







时量 120分钟 总分 150分

一、选择题（8×5＝40分）

命题“x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是（ ）

A． x∈Z，使x2＋2x＋m>0 B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0

C． x∈Z，使x2＋2x＋m≤0 D． x∈Z，使x2＋2x＋m>0

已知数列
中，a1＝1，a2＝2＋3，a3＝4＋5＋6，a4＝7＋8＋9＋10，依此类推，则a10＝（ ）

A．610 B．510 C． 505 D．750

在△ABC中，若A＝60°，BC＝4
，AC＝4
，则角B的大小为（ ）

A．30° B．45° C．135° D．45°或135°

若函数y＝
的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝
在区间[a，b]上的图象可能是（ ）

若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆
＝1的右焦点重合，则p的值为（ ）

A．－2 B．2 C．－4 D．4

已知变量x，y满足约束条件
，则目标函数z＝3x－y的取值范围是（ ）

A．[－
，6] B．[－
，－1] C．[－1，6] D．[－6，
]

椭圆
的四个顶点围成的四边形有一个内角为
，则该椭圆的离心率等于（　　）

A．
B．
C．
D．

已知数列{an}是等差数列，若它的前n项和Sn有最小值，且
<－1，则使Sn>0成立的最小自然数n的值为（ ）

A．18 B．19 C．20 D．21

二、填空题（7×5＝35分）

在等差数列
中，已知
＋
＝16，则该数列前11项和
等于 .

在△ABC中，若(
b－c)·cosA＝a·cosC，则cosA＝ .

＝x3－12x＋8在[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，N，则M－N＝ .

某人向正东方向走了xkm，然后向右转120°，再朝新方向走了3km，结果他离出发点恰好
km，那么x的值是 .

已知x>0，y>0且x＋4y＝1，则
的最小值为 .

已知双曲线C：
－
＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为 .

关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－2或x>－
}，则关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为 .

三、解答题（本大题共有6道小题，75分）

（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinB·sinC，且
·
＝4，求△ABC的面积S.

（本小题满分12分）设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝2－2Sn；数列{an}为等差数列，且a5＝14，a7＝20.

（1）求数{bn}的通项公式；

（2）若cn＝an·bn，n＝1, 2, 3,……,Tn为数列{cn}的前n项和，求证：Tn<
.

（本小题满分13分）已知函数
＝x3－ax2＋bx＋c的图象为曲线E.

（1）若函数
可以在x＝－1和x＝3时取得极值，求此时a，b的值；

（2）在满足（1）的条件下，
<2c在x∈[－2，6]恒成立，求c的取值范围.

（本小题满分13分）一火车锅炉每小时消耗煤费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤价值为40元，其他费用每小时需200元，问火车行驶的速度为多大时，才能使火车从甲城开往乙城的总费用为最省（已知火车最高速度为100km/h）．

（本小题满分13分）如图，已知点F是抛物线C：y2＝x的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|＝
.

（1）求点S的坐标；

（2）以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A，B，直线SA，SB分别交抛物线C于M，N两点，求直线MN的斜率.

2013年下学期期末考试高二文科数学试卷

参考答案

一、选择题：（每小题5分，共40分）

三、解答题：（本大题共75分）

16、（本小题满分12分）

解：由已知得b2＋c2＝a2＋bc，∴bc＝b2＋c2－a2＝2bc·cosA，∴cosA＝
，则sinA＝
，由
·
＝4，得bc·cosA＝4，∴bc＝8，∴S＝
bc·sinA＝2
.

17、（本小题满分12分）

解：（1）当a＝1时，由x2－4x＋3<0，得：1

又由
得：
，∴2

∴由①②得：2

（2）∵p：x2－4ax＋3a2<0，即(x－a)(x－3a)<0（a>0），∴a

∴p：x≤a或x≥3a；设A＝（－∞，a]∪[3a，＋∞）；

又q：x≤2或x>3，设B＝（－∞，2]∪（3，＋∞），

由p是q的充分不必要条件，得：A
B，∴
，∴1

∴实数a的取值范围为（1，2].

18、（本小题满分12分）

解：（1）由 bn＝2－2Sn；令n＝1，2得：b1＝
，∴b2＝
.

当n≥2时，由bn＝2－2Sn可得：bn－bn－1＝－2(Sn－Sn－1)＝－2bn，即
＝
.

∴{bn}是以b1＝
为首项，
为公比的等比数列，∴bn＝

（2）∵数列{an}为等差数列，公差d＝
(a7－a5)＝3，可得：an＝3n－1，

∴cn＝an·bn＝2(3n－1)×
.，

Tn＝2[2×
＋5×
＋8×
＋…＋(3n－1)×
]……①

∴
Tn＝2[2×
＋5×
＋8×
＋…＋(3n－4)×
＋(3n－1)×
]……②

∴①－②得：
Tn＝2[2×
＋3×
＋3×
＋…＋3×
－(3n－1)×
]

∴Tn＝
－
×
－
<
.

19、（本小题满分13分）

20、（本小题满分13分）

解：设甲、乙两城相距为a千米，火车速度为xkm/h，每小时消耗的煤价值为p，

依题意有p＝kx3（k为比例常数），由x＝20，p＝40，得k＝
，

∴总费用y＝(
x3＋200)·
＝
（x>0），

由
＝
，令
＝0解得，x＝
，

当00，

∴当x＝
时，y取最小值，∴要使费用最省，火车速度应为
km/h.

21、（本小题满分13分）

解：（1）设S(x0，y0)（y0>0），

∵F(
，0)，则|SF|＝x0＋
＝
，

∴x0＝1，∴y0＝1，∴S点的坐标为（1，1）.

（2）设直线SA的方程为y－1＝k(x－1)（k≠0），

M（x1，y1），由
，得ky2－y＋1－k＝0，解得：y1＝1（舍），或y1＝
，

∴M(
，
)，又由已知|SA|＝|SB|得，直线SA与SB的斜率互为相反数，

∴直线SB的斜率为－k，同理得N(
，
)，

∴
＝－
.