岳阳县一中2015级高二期末考试试卷

理科数学

时量：120分钟 总分：150分

命题：岳阳县一中 命题人：周军才

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.为虚数单位，则
（ ）

A. B.
C. D.

答案：C

解析：

2. 若
，则
＝(　　)

A．0　　　　　　　 B． C．
D．

解析：选C　∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.

3. 已知双曲线
的一个焦点坐标是
,则双曲线的渐近线方程是 （ 　）

A.
B.
C.
D.

答案：B

解析：知双曲线
的焦点在轴，且
，又一个焦点是
，

∴

双曲线的渐近线方程为

4．下列叙述：

①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；

②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行；

③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行.

其中正确的个数是 （ ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

答案：B

解析：①正确，②③错误.

5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有(　　)

A.7个 B.12个 C.24个 D.35个

答案：D

6. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)

A.设数列
的前项和为
.由
，求出
，…，推断：

B.由
满足
对?∈R都成立，推断：
为奇函数

C.由圆
的面积
，推断：椭圆
的面积

D.由
…，推断：对一切∈N*，

答案：A

解析：选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.

7. 已知函数
，若函数
在
上有3个零点，则的取值范围为 (　　)

A．(－24,8) B．(－24,1] C．[1,8] D．[1,8)

[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)·(x－3)，

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.

当x∈[－2，－1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－1,3)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(3,5]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8；

而f(－2)＝1，f(5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，只需函数f(x)在[－2,5]内的函数图象与直线y＝m有3个交点．故即m∈[1,8)．

[答案]　D

8. 抛物线
的焦点为，已知点
为抛物线上的两个动点，且满足
.过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最大值为

A.
B.
C. D.

答案：A

解析：试题分析：设
，则

填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

9.

答案：4

解析：

10.已知
，复数的实部为，虚部为1,则复数对应的点到原点距离的取值范围是

答案：

解析：∵
，∴

11. 曲线C：
在点(1，0)处的切线方程是 .

答案：

解析：设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1.所以所求切线方程为y＝x－1.

12. 棱长均为3的三棱锥
，若空间一点满足
，则
的最小值为 .

答案：

解析：∵

，

∴
四点共面，
的最小值即为点到底面
的高
.

13. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .

答案:24

解析：分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有A种方法；A与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有A种方法；考虑A与戊机的排法有A种方法．可知共有AAA＝24种不同的着舰方法．

14. 椭圆
的左、右顶点分别为
，点在椭圆上，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，则
·
= .

答案：－

解析：椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，

则kPA1kPA2＝·＝，而＋＝1，

即y＝(4－x)，所以kPA1kPA2＝－

15.函数
有两个不同的极值点
，且
，则实数的范围是

答案：

解析：
定义域为

，令
，则
在
内有两个不同的实数根

，结合图象知

三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

设:实数满足
,
实数满足
.

(1)若
且
为真，求实数的取值范围；

(2)若其中
且
是的充分不必要条件,求实数的取值范围.

解:（1）. 由
得

当
时，
,即为真时实数的取值范围是
.……………2分

由
, 得
, 得

即为真时实数的取值范围是
,……………4分

若
为真，则真且真，

所以实数的取值范围是
. ……………6分

(2) 由
得

是
的充分不必要条件，即


,且


, ……………8分

设A=
,B=
,则
,

又A=
=
, B=
={x|x≥4或x≤2}，……………10分

则
,且

所以实数的取值范围是
……………12分

17. （本小题满分12分）

如图,在三棱柱
中,侧棱垂直底面,
，
.

（1）求证:
；

（2）求二面角
的大小.

解：：方法一：（1）∵

∴
，又

∴
∴

∴

（2）取
的中点为
，在平面
内过
作
于点
，连接

则
，∴
，而

∴

∴
是二面角
的平面角，又

∴

∴二面角
为60°.

18. （本小题满分12分）

时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式
，其中
，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.

（1）求的值；

（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）.

解：（1）因为
时，
，

代入关系式
，得
，

解得
.……………………4分

（2）由（1）可知，套题每日的销售量
，……………5分

所以每日销售套题所获得的利润

……………………8分

从而
.

令
，得
,且在
上,
，函数
单调递增；在
上，
，函数
单调递减， ……………………10分

所以
是函数
在
内的极大值点，也是最大值点，

所以当
时，函数
取得最大值.

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分

19. （本小题满分13分）

设数列
的前项和为
(即
)，且方程
有一根为
－1，＝1,2,3…….

(1)求
；

(2)猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．

解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，

于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，

解得a1＝.……………3分

当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是2－a2－a2＝0，解得a2＝.……………5分

(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，

即S－2Sn＋1－anSn＝0.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，

代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①

由(1)得S1＝a1＝，

S2＝a1＋a2＝＋＝.

由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3…. ……………7分

下面用数学归纳法证明这个结论．

(ⅰ)n＝1时已知结论成立．……………8分

(ⅱ)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，

即Sk＝，

当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，……………10分

即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．……………12分

综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知Sn＝对所有正整数n都成立．……………13分

20. （本小题满分13分）

已知椭圆：

离心率为
，且椭圆的长轴比焦距长
.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点
(
，
)的动直线
交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论
如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设椭圆的焦距为
，则由题设可知
，解此方程组得

，
. 所以椭圆C的方程是
. ……………………5分

（2）解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为
，

将它代入椭圆方程，并整理，得
．

设点A、B的坐标分别为
，则

因为
及

所以

…………………9分

当且仅当
恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，

所以
解得

此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. …………………11分

当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为
也过点T（0，1）.

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件. …………………13分

解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是

若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是
……………7分

由
解得
.

由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）. ………………8分

事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：

当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为
，

过点T（0，1）；

当直线l的斜率存在，设直线方程为
，代入椭圆方程，并整理，得

设点A、B的坐标为
，则
…………………10分

因为
，

所以
，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.