一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1、已知集合
,则
（　　）

A、
B、
C、
D、

2．若复数
（
为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（　　）

A、4 B、－2 C、－6 D、6

3、设等差数列
的前项和为
，若
、
是方程
的两个实数根，

则
的值是 A、
B、5 C、
D、
（　　）

4、下列命题错误的是 （　　）

A、命题“若
，则
”的逆否命题为“若
中至少有一个不为

，则
”；

B、若命题
，则
；

C、
中，
是
的充要条件；

D、若向量
满足
，则
与
的夹角为钝角.

5、如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线
,

及直线x=a,

与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一

点，若落在阴影部分的概率为
，则的值是（　　）

A、
B、
　　　C、
D、

6、设
是平面内两条不同的直线，
是平面外的一条直线，则“
，
”是“
”的（　　）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

7、若函数
的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（　　）

A、
B、
C、
D、

8、已知
，，满足
，且的最大值是最小值的倍，则的值是

A、
B、
C、
D、
（　 ）

9、若不重合的四点
，满足
，
，则实数的值为A、 B、
C、 D、
（　　）

10、函数
的部分图象如右图所示，设是图象的最高点,
是图象与轴的交点,记
,则
的值是（　　）

A、
B、
C、
D、

11、过双曲线
右焦点作一条直线，当直线斜率为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为
时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为（　　）

A、
B、
C、
D、

12、可导函数
的导函数为
，且满足：①
；
，记
，
，
则
的大小顺序为（　　）

A、
B、
C、
D、

第Ⅱ卷 (非选择题)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填入答题纸相应位置)

13、数列
中，
，
是方程
的两个根，则数列
的前项和
　_________　．

14、若A、B、C分别是
的三内角，

则
的最小值为_________。

15、一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几

何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表

面积是 。

16、已知双曲线
与抛物线
有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若
，则双曲线方程为 。

三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）

17、（本小题满分10分）

已知函数
。

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若
，且
，求证：
。

18、（本小题满分12分）

已知向量
,函数

（Ⅰ）求函数
的最小正周期T及单调减区间;

（Ⅱ）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，
,
,且
.求角A，边的长和ABC的面积。

19、（本小题满分12分）

已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}．

（Ⅰ）若a，b∈N，求A∩B≠
的概率；（Ⅱ）若a，b∈R，求A∩B＝
的概率。

20、（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，
，
，是
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
； （Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）试问线段
上是否存在点，使
与
成
角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．

21、（本小题满分12分）

定义在上的函数
同时满足以下条件：①
在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②
是偶函数；③
在x＝0处的切线与直线

y＝x＋2垂直。

（Ⅰ）求函数＝
的解析式；

（Ⅱ）设g(x)＝
，若存在实数x∈[1，e]，使
<
，求实数m的取值范围。

22、（本小题满分12分）

如图，已知抛物线
：
和⊙
：
，过抛物线
上一点

作两条直线与⊙
相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点
到抛物线准线的距离为
。

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）当
的角平分线垂直轴时，求直线
的斜率；

（Ⅲ）若直线
在轴上的截距为，求的最小值．





（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点.

因为在线段
上，
，
，故可设
，其中
.

所以
，
.

因为
与
成
角，所以
.

即
，解得
，舍去
.

所以当点为线段
中点时，
与
成
角. ……………12分

21、解: （Ⅰ）(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………………………………………1分

由f′(x)是偶函数得：b＝0②……………………………………………2分

又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分

由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3. ……………4分

（Ⅱ）由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－

即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x3＋x …………………………6分

设M(x)＝xlnx－x3＋x　x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分

设H(x)＝lnx－3x2＋2，则H′(x)＝－6x＝ ……………8分

∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减

于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0 ……………10分

∴M(x)在[1，e]上递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3……………12分

于是有m>2e－e3为所求．