2013-2014学年度第一学期期末联考

高二数学试题（理科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．下列说法中，正确的是：（ ）

A．命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

B．命题“存在
，使得
”的否定是：“任意
，都有
”

C．若命题“非
”与命题“
或
”都是真命题，那么命题
一定是真命题

D．命题“若
，则
”的逆命题是真命题

2．抛物线
的焦点坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．从甲、乙两个城市分别随机抽取6台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲、乙两组数据的平均数分别为
,
,方差分别为
,
,则（ ）

A．
,

B．
,


[来源:学#科#网Z#X#X#K]

C．
,

D．
,

4．设
为两两不重合的平面，
为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

（1）若
，则
；（2）若


,


，
，则
；

（3）若
，


，则

；（4）若
，
，
，
，则
．

其中正确的命题是（ ）

A、（1）（3） B、（2）（3）

C、（2）（4） D、（3）（4）

5．已知椭圆
和双曲线
有相同的焦点
，
是两曲线的一个交点，则
的值是（ ）

A、
B、
C、
D、

6．给出右图所示的算法流程图,若输出的值为
，则判断框中的条件是（　　）

A．
B．
C．
D．

7．如图，设四面体
各棱长均相等，
分别为
中点，则
在该四面体的面
上的射影是下图中的（　　）

A B C D

8．“过点
的直线
与双曲线
有且仅有一个公共点”是“直线
的斜率
的值为
”的（ ）[来源:学_科_网]

A．充分必要条件 B．充分但不必要条件

C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件

9．如图所示
方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是
中的任何一个，允许重复，则填入
方格的数字大于
方格的数字的概率为（　　）

A．
B．
C．
D．

10.如图，在棱长为
的正方体
的对角线
上任取一点
，以
为球心，
为半径作一个球.设
，记该球面与正方体表面的交线的长度和为
，则函数
的图象最有可能的是（ ）



A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案填写在答题卷上.

11．已知
且
，则

12．某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了
名女生,测量其体重.将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在
的人数是

13. 已知直线
与椭圆
相交于
两点，且线段
的中点在直线
上，则此椭圆的离心率为_______

14.如图，在长方形
中，
为
的中点，
为线段
(端点除外)上一动点，
现将
沿
折起，使平面
平面
.在平面
内过点
作
为垂足，设
,则
的取值范围是________

15.已知
，直线
和曲线
有两个不同的交点，他们围成的平面区域为
，向区域
上随机投以点
,点
落在
内的概率为
，若
，则实数
的取值范围是：

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. （本题满分12分）

已知离心率为
的椭圆
(
) 过点

(1)求椭圆
的方程;

(2)过点
作斜率为
直线
与椭圆相交于
两点，求
的长.

17．（本题满分12分）

在直三棱柱
中，
分别是
的中点.

?? （1）求证：
平面
;

?? （2）求多面体
的体积.

18. （本题满分12分）

某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、
人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽

奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人

在前排就坐，其中高二代表队有6人.

（1）求
的值；

（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为
，现随机从中抽取2人上台抽奖，

求
和
至少有一人上台抽奖的概率；

（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个
之间的均匀随机数
，并按如右所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率.

[来源:学,科,网Z,X,X,K]

19. （本题满分12分）

已知命题
“存在
”，命题
：“曲线
表示焦点在
轴上的椭圆”，命题
“曲线
表示双曲线”

（1）若“
且
”是真命题，求
的取值范围；

（2）若
是
的必要不充分条件，求
的取值范围。

20．（本题满分13分）

如图，已知四棱锥
中，底面
为菱形，
平面
，
，
分别是
的中点．

（1）证明：
平面
；

（2）取
，若
为
上的动点，
与平面
所成最大角的

正切值为
，求二面角
的余弦值。

21．（本题满分14分）

已知椭圆
的离心率与双曲线
的离心率互为倒数，直线
与以原点为圆心，以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设椭圆
的左焦点为
，右焦点为

，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直
于点
，线段
垂直平分线交
于点
，求
点
的轨迹
的方程；

（3）设第（2）问中的
与
轴交于点
，不同的两点
在
上，且满足
,求
的取值范围.

2013-2014学年度第一学期期末联考

高二数学参考答案（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上）

1.【答案】C

2.【答案】D 整理为标准式
，在求解

3.【答案】A 乙城市的数据更靠近后面，所以平均数更大，数据更集中，所以方差更小。

4.【答案】D　（1）中面
可能相交，（2）漏了线
相交

5.【答案】C 设

，，设
是两曲线在第一象限的交点，则有曲线定义可得
，

6.【答案】A ，由判断框首先排除B.D,然后一一运算即可

7.【答案】B． 点
在面
的射影不在
的边上，也不在线段
上，所以选B

8.【答案】C 检验，
时直线与双曲线相切，但是直线与双曲线有且仅有一个公共点的时候，
，即此时直线平行双曲线的渐近线

9.【答案】D 依题意，本题不必考虑
区域，
区域可重复填数，共有
种方法，符合
的共有
种，所以

10.【答案】B 分析：当
，以
为半径的球面与正方体
的侧面
、
以及下底面
均相交，且与侧面
、
以及下底面
的交线均为圆心角为
的圆弧，即
，此时函数
是关于自变量
的正比例函数，排除选项
、
，当
时，侧面
、
以及下底面
内的点到点
的最大距离为
，此时球面与这三个面无交线，考虑球面与平面
的交线，设球面与平面
的交线是半径为圆弧，在圆弧上任取一点
，则
，
，易知，
平面