新余市2013-2014学年度上学期期末质量检测

高二数学试题卷（理科A卷）

命题人：市四中 林奇兵 新钢中学 邹进辉 审校人：肖连奇

说明：1．本卷共有三个大
题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟．

2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．

1.数列
，3，
，
，
，…，则9是这个数列的第(　　)

A．12项　　　　 B．13项 C．14项 D．15项

2．若
，且
，则下列不等式中一定成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知随机变
量X～B(6,0.4)，则当η＝－2X＋1时，D(η)＝(　　)

A．－1.88 B．－2.88 C．5. 76 D．6.76

4. 在等差数列
中，已知
，则该数列前11项的和
等于

A．58 B．88 C．143 D． 176

5.
中，
，则
形状是（ ）

A. 正三角形 B. 直角三角形

C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

6．若
的二项展开式中x3的系数为
，则a＝(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

7．将二项式
的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有(　)种．

A．
B．
C．
D．

8. 某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，

现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为 ( )

A 36种 B 33种 C 27种 D 21种

9．已知数列
满足：
，
，若
，
，且数列
的单调递增数列，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
是方程

的两根，且
，
,
，求

的最大值与最小值之和为(　　)．

A．2 B． C．. D．1

二、填空题（本大题共5小题，每题5分，
共计25分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）

11.在
中，
，
，
，则
.

12.不等式
的解集是 ．

13．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域
随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝_____．

14．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

性别 专业

非统计专业

统计专业



男

13

10



女

7

20



为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，所以判定主修统计专业与

性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 .（

）

15.对于各项均为整数的数列
，如果
为完全平方数，则称数列
具有“
性质”，不论数列
是否具有“
性质”，如果存在与
不是同一数列的
，且
同时满足下面两个条件：

(1)
是
的一个排列；(2)数列
具有“
性质”，则称数列
具有“变换
性质”。给出下面三个数列：

①数列
的前
项和
；

②数列1，2，3，4，5；

③数列1，2，3，… 11.

其中具有“
性质”或具有“变换
性质”的为 .（写出所有正确的序号）．

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）

16．（本小题满分12分）

在
中，角
、
、
对的边分别为
、
、
，且

（1）求
的值；

（2）若
，求
的面积
．

17.（本小题满分12分）

为加快旅游业的发展，新余市2013年面向国内发行总量为200万张的“仙女湖之旅”优惠卡，向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡.某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到新余仙女湖旅游，其中
是省外游客，其余是省内游客.在省外游客中有
持金卡，在省内游客中有
持银卡.

（1）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；

（2）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等概率.

[来源:Z§xx§k.Com]

18．（本小题满分12分）

等差数列
的各项均为正数，
，前
项和为
，
为等比数列,
，且

．

（1）求
与
；

（2）求数列
的前
项和
.

19. （本小题满分12分）[来源:Zxxk.Com]

某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为
，科目B每次考试成绩合格的概率均为
.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.

　　 （1）求他不需要补考就可获得证书的概率；

　　 （2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为
，求
的分布列及数学期望E
.

20．(本小题满分13分）

某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－ ，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝ (注：利润与投资金额单位：万元).

(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出
定义域；

(2)在（1）的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

21．（本小题满分14分）

已知数列
的相邻两项
，
是关于
方程
的两根，且

.

（1）求证：数列
是等比数列；

（2）求数列
的前
项和
；

（3）设函数
，若
对任意的
都成立，求实数
的取值范围.

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高二数学试题参考答案 (理科A卷)

一、选择题(每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求.)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

C

B

B

B

C

C

C

A



二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共
25分）

11. 4 12.
13．

1
4. 5% 15. ①②

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）

16解：（1）由正弦定理可得：
，

所以
，

所以
…………………6分

（2）由余弦定理得
，即
，

又
，所以
，解得
或
（舍去），

所以
…………………12分

17.（ 1）由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.

设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,..............1分

则

所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是
. ……………………………6分

（2）设事件B为“采访该团2人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为：[来源:学,科,网]

事件B1为“采访该团2人,持金卡0人，持银卡0人”,或事件B2为“采访该团2人,持金卡1人，持银卡1人”两种情况，则

所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是
. …………12分

18. 解：（1）设
的公差为
，
的公比为
，则
为正整数，

，

依题意有
，即
，

解得
或者
（舍去），

故
。……………………4分

（2）
。 ………………6分[来源:学_科_网]

，

，

两式相减得
………………8分

，

所以
………………12分

[来源:学科网]

19解:设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补
考合格”为事件A2；“科目B第一次
考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2..............1分

(1)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，

则
.

该考生不需要补考就获得证书的概率为
..............4分

(2)由已知得，
＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

.............6分

...........8分

.............10分

2

3

4



P











故

答：该考生参加考试次数的数学期望为
.............12分

20.解：(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的100－x(万元)资金投入B产品，利润总和

f(x)＝18－＋

＝38－ － (x∈[0,100])．………………6分

(2)∵f(x)＝40－，x∈[0,100]，

∴由基本不等式得：

f(x)≤40－2＝28，取等号当且仅当＝时，即x＝20. …………12分

答：分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．………………13分

21．（1）∵
，∴
，

∵
，

∴
，

∴
是首项为
，公比
为
的等比数列。

且
………………4
分

（2）由（1）得
=

………8分（注：未分奇偶写也得8分）

（3）∵
，

∴
,∴
,

∴
.

∴当
为奇数时，
，

∴
对任意的
为奇数都成立，∴
。………………11分

∴当
为偶数时，
，

∴
，

∴
对任意的
为偶数都成立，∴
………………13分

综上所述，实数
的取值范围为
。 ………………14分