一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1、已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝(　　)

A、
B、
C、 D、

2、从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是（ ）

A、
B、
C、
D、

3、函数
在区间
上的最大值是（ 　　）

A、
B、
C、
D、

4、已知函数
在
时取得极值，则实数的值是（ 　）

A、 B、 C、 D、

5、某单位为了了解用电量y(度)与气温x(°C)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温x(°C)

18

13

10

－1



用电量y(度)

24

34

38

64



由表中数据得线性回归方程＝bx＋a中b≈－2，预测当气温为－4 °C时，用电量的度数约为(　　)

A、58 　 　B、66 C、68 　 　D、70

6、不等式<1的解集记为p，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集记为q，已知p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)

A、(－2，－1] B、[－2，－1] C、[－2，－1) D、[－2，＋∞)

7、已知椭圆
(a>0，b>0)，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点．若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为(　　)

A、 B、 C、 D、

8、抛物线
上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )

A、2 B、3 C、4 D、5

9、当x∈(0,5)时，函数y＝xln x(　　)．

A、是单调增函数

B、是单调减函数

C、在上单调递增，在上单调递减

D、在上单调递减，在上单调递增

10、已知直线
过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,
与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则
的面积为( )

A、18 B、24 C、36 D、48

11、如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是(　　)

A、12.5　12.5　　　　　　 　　B、12.5　13

C、13　12.5 　　　　　　　 　　D、13　13

12、设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为 (　　)

A、2 B、－2 C、－ D、

第Ⅱ卷 (非选择题)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填入答题纸相应位置)

13、已知平面区域

，若向区域
内随机投一点，则点落入区域的概率为

14、函数
的单调递增区间是_____________

15、如图是一个算法流程图，则输出的S的值是__________．

16、以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点

（－2，－4）的抛物线方程是 。

三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）

17、（本小题满分12分）

巴西医生马廷思收集犯有各种贪污、受贿罪的官员与廉洁官员寿命的调查资料：50名贪官中有35人的寿命小于平均寿命、15人的寿命大于或等于平均寿命；60名廉洁官员中有10人的寿命小于平均寿命、50人的寿命大于或等于平均寿命这里，平均寿命是指“当地人均寿命”试用独立性检验的思想分析官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间是否独立?

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





18、（本小题满分12分）

随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．

(1)计算甲班的样本方差；

(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不

低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学

被抽中的概率．

19、（本小题满分12分）设函数
.

(1)对于任意实数,
恒成立,求的取值范围；

(2)若方程
有且仅有一个实根,求的取值范围.

20、（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，

且|F1F2|＝2，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF2B的面积为，

求直线l的方程．

21、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)．

(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在x＝处切线的斜率；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)设g(x)＝2x，若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈[0,1]，使f(x1)＜g(x2)，

求实数a的取值范围．

请考生在第23、24两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

（本小题满分10分）

23、已知直线
的极坐标方程为
，圆C的参数方程为
．

（1）化直线
的方程为直角坐标方程,化圆的方程为普通方程；

（2）求直线
被圆截得的弦长．

24、已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．



(2)当直线l⊥x轴时，计算得到：A，B，S△AF2B＝·|AB|·|F1F2|＝×3×2＝3，不符合题意．

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y＝k(x＋1)，由消去y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.

显然Δ>0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1·x2＝.

又|AB|＝·

＝·

＝·＝，

圆F2的半径r＝＝，

所以S△AF2B＝|AB|·r＝··＝＝，

化简，得17k4＋k2－18＝0，即(k2－1)(17k2＋18)＝0，解得k＝±1.

所以y=±(x+1)

21．解：(1)f′(x)＝1＋(x＞0)，f′()＝1＋2＝3.

故曲线y＝f(x)在x＝处切线的斜率为3.

(2)f′(x)＝a＋＝(x＞0)．

①当a≥0时，由于x＞0，故ax＋1＞0，f′(x)＞0，

所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

②当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－，

在区间上f′(x)＞0，在区间上f′(x)＜0.所以，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(3)由题可知，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，转化为[f(x)]max＜[g(x)]max，而[g(x)]max＝2.

由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．(或者举出反例：存在f(e3)＝ae3＋3＞2，故不符合题意．)

当a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，

故f(x)的极大值即为最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－.

所以，a的取值范围为

23、