2013-2014学年度第一学期期末联考

高二数学试题（文科）

（共150分．考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.

1．椭圆
的焦距为(　　)

A．
　　 B．2 C．4 D．4

2．已知x与y之间的一组数据(如表所示)：则关于y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过定点(　　)

x

0

1

2

3



y

1

3

5

7





A．(2,2) B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4)

3．执行右边程序语句的过程中，执行循环体的次数是（ ）

A．0 B．1 C．2 　D．3

4．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计

数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为
,
,中位

数分别为
,
,则（ ）

A．
,

B．
,

C．
,

D．
,

5．已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a

的值为(　　)

A．－1　　 B．1 C．±1 D．－2

6．设函数f(x)＝xex，则(　　)

A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点

7．下列说法错误的是( )

A．“
”是“方程
表示双曲线”的充分不必要条件

B．命题“若
，则
”的否命题是：“若
，则
”

C．若命题p：存在
，则命题p的否定：对任意

D．若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题

8．如图所示
方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是
中的任何

一个，允许重复，则填入方格的数字大于方格的数字的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．设F为抛物线
的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若
，则
= （ ）

A．6 B．9 C．12 D．16

10．如图，在棱长为1的正方体
的对角线
上任取一点P，以为球心，
为半径作一个球.设
，记该球面与正方体表面的交线的长度和为
，则函数
的图象最有可能的是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案填写在答题卷上.

11. 如图的程序框图所示，若输入
，
，则输出的值是 ；

12．设函数f(x)的导数为
，且
，则
___.

13. 设函数
.若从区间
内随机选取一个实数
,

则所选取的实数
满足
的概率为 .

14. 一个半径为2的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示，

则该几何体的表面积为 ；

15．已知双曲线
的两条渐近线与抛物线

的准线分别交于
两点,
为坐标原点.若
的面积为
,则双

曲线的离心率为_________.

三、解答题：共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人.（Ⅰ）求n的值；

（Ⅱ）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖，.求a和b至少有一人上台抽奖的概率；

17.（本小题满分12分）

如图，
中
，平面
外一条线段AB满足AB∥DE，AB
，AB⊥AC，F是CD的中点．

（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE

（Ⅱ）若AC=AD，证明：AF⊥平面

18．(本小题满分12分)

已知命题：方程
表示椭圆；：方程
表示双曲线. 若“或”为真，“且” 为假，求实数
的取值范围.

19.（本小题满分12分）

如图，E是以AB为直径的半圆上异于点A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）设平面
与半圆弧的另一个交点为

①试证：

②若
求三棱锥
的体积

20．(本小题满分13分)

已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

x

3

－2

4





y

－2

0

－4





(1)求C1、C2的标准方程；

(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F； ②与C1交于不同的两点M、N，且满足⊥？

若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21．(本小题满分14分)

已知函数f(x)＝－x3＋x2－2x(a∈R)．

(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求实数a的取值范围；

(3)若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

2013-2014学年度第一学期期末联考

高二数学（文科）参考答案

一、选择题：

1．B 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D ７．A ８．D ９．C 10．A

二、填空题

11．
12．－； 13．0.3 14．
15．2

三、解答题

16．解：（Ⅰ）依题意，由

120：120：n=6:6:8 ……2分

得n=160 ……4分

（Ⅱ）记事件A为“a和b至少有一人上台抽奖”，

从高二代表队6人中抽取2人上台抽奖的所有基本事件列举如下：

a b c d e

b c d e f c d e f d e f e f f ……7分

共15种可能， ……8分

其中事件A包含的基本事件有9种：ab、ac、ad、ae、af、bc、bd、be、bf ……10分

所以P（A）=
……12分

17．证明：（Ⅰ）如图，取CE的中点M，连结FM， BM

∵F为CD的中点

∴FM∥DE，且FM=
DE ……2分

又∵DE=2AB

∴AB∥FM且AB=FM

∴四边形ABMF为平行四边形 ……4分

又AF平面BCE，BM平面BCE

∴AF∥平面BCE …………6分

（Ⅱ）∵AC=AD，F是CD的中点

∴AF⊥CD ………7分

由AB⊥AC，DE∥AB，可得DE⊥AC，DE⊥CD …8分

且AC平面ACD，CD平面ACD，AC
CD=C

∴DE⊥平面ACD ………9分

∴DE⊥AF ………10分

∵AF⊥CD且DE⊥AF，DE
CD=D

∴AF⊥平面CDE …………12分

18．解：若命题为真，则
解得
； ……………3分

若命题为真，则
，解得
或
.……………6分

由题意可知命题与一真一假, ……………7分

当真假时，则
，解得
； ……………9分

当假真时，则
解得
. ……………11分

综上，实数
的取值范围
或
. ……………12分

19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及棱锥体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分.

解：（Ⅰ）∵平面
平面
，

面

面

，
，
面
，

∴
面
． ………………………… 2分

又∵
面
，

∴
． ………………………… 3分

∵在以
为直径的半圆上，

∴
，

又∵
，
面
，

∴
面
． ………………… 4分

又∵
面
，

∴
． ……………………… 5分

（Ⅱ）① ∵
，
面
，
面
，

∴
平面
． ……………… 6分

又∵
面
，平面
平面

，

∴
. ……………… 8分

②取
中点
，
的中点
，

在
中，
，
，∴
．

（Ⅰ）已证得
面
，又已知
，

∴
平面
． …………… 10分

故

． … 12分

20．解：(1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)， ……………1分

则有＝2p(x≠0)，

据此验证四个点知(3，－2)， (4，－4)在抛物线上， ……………3分

易得C2：y2＝4x. ……………4分

设C1：＋＝1(a＞b＞0)，

把(－2,0)，代入得 ……………5分

解得

所以C1的标准方程为＋y2＝1. ……………6分

(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意． ……………7分

当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，与C1的交点为M(x1， y1)、N(x2，y2)．

由

消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0， ……………8分

Δ＝(－8k2)2－4(1＋4k2)·4(k2－1)＝48k2＋16＞0，

于是x1＋x2＝，x1x2＝.①

y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，

即y1y2＝k2＝－.② ……………10分

由⊥，即·＝0，得x1x2＋y1y2＝0.(*) ……………11分

将①、②代入(*)式，得－＝＝0，解得k＝±2， ……………12分

所以存在直线l满足条件，且l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0. ……………13分

21．解：(1)当a＝3时，函数f(x)＝－x3＋x2－2x，

得f′(x)＝－x2＋3x－2＝－(x－1)( x－2)． ……………1分

所以当1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； ……………2分

当x＜1或x＞2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减． …………3分

所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)．………4分

(2)由f(x)＝－x3＋x2－2x，得f′(x)＝－x2＋ax－2， ……………5分

因为对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，

所以问题转化为对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)max＜2(a－1)． ……………6分

因为f′(x)＝－2＋－2，其图象开口向下，对称轴为x＝.

①当≤1，即a≤2时，f′(x)在[1，＋∞)上单调递减，

所以f′(x)max＝f′(1)＝a－3，

由a－3＜2(a－1)，得a＞－1，此时－1＜a≤2. ……………7分

②当＞1，即a＞2时，f′(x)在上单调递增，在上单调递减，

所以f′(x)max＝f′＝－2，

由－2＜2(a－1)，得0＜a＜8，此时2＜a＜8. ……………8分

综上可得，实数a的取值范围为(－1,8)． ……………9分

(3)设点P是函数y＝f(x)图象上的切点，

则过点P的切线的斜率k＝f′(t)＝－t2＋at－2， ……………10分

所以过点P的切线方程为y＋t3－