新余市2013-2014学年度上学期期末质量检测

高二数学试题卷（文科A卷）

命题人：市四中 邓京凤 新钢中学 邓庆生 审校人：刘勇刚

说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟．

2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设
是虚数单位，集合
，

，则
为（ ）

A.
B.
C.
D.

2.若
，且
，则下列不等式一定成立的是 （ ）

A.
B.
C.
D.

3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）

A.假设三内角都大于60度 B．假设三内角都不大于60度

C.假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度

4.下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）

A．两条直线平行，同旁内角互补，如果
和
是两条平行直线的同旁内角，则

.

B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质.

C．三角形内角和是
，四边形内角和是
，五边形内角和是
，由此得凸
多边形内
角和是
.

D．在数列
中，
，
，由此归纳出
的通项公式.

5．在
上定义
运算
，
，，则满足
的实
数
的取值范围为(　　)

A．
B．
C．
D．
[来源:学科网]

6．若右边的程序框图输出的
是126，则条件①可为( )

A.
B.
C.
D.
[来源:学科网ZXXK]

7
. 已知等差数列的前
项和为18，若
，

,则
的值为(　　)

A．9 B．21 C．27 D．36

8．设变量
满足
，则目标函数

的最小值为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

9.已知
满足

，则
的形状是（ ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

10.将正整数排成右下表：

则在表中数字2014出现在(　　)

A．第45行第78列 B．第44行第78列

C．第44行第77列 D．第45行第77列

二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）

11．若
,
，且
为纯虚数，则实数
的值为 ▲ .

12. 从1，2,3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”,事件B为“取到的两个数均为偶数",则
=______▲____.

13.若等差数列
的前
项和为
，则
.由类比推理可得：在等比数列
中，若其前
项的积为
，则
____▲____.

1
4．若正数
，
满足
，则
的最小值为____▲_____.

15.设
的内角
所对的边为
,则下列命题正确的是 ▲ （写出所有正确命题的序号）.

①若
,则
. ②若
,则
.

③若
,则
. ④若
,则
.

⑤若
,则
.

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）

16．(本题满分12分)

已知等比数列
的公比为正数，且
.

（1）求
的通项公式；

（2）设
是首项为1，公差为2的等差数列，求数列
的前
项和
.

17．（本题满分12分）

甲乙丙三人独立破译同一份密码.已知甲乙丙各自独立破译出密码的概率分别为
且他们是否破译出密码互不影响.

（1）求恰有二人破译出密码的概率；

（2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.

18．(本题满分12分)

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为
,且
．

(1)若边b＝2，角A＝30°，求角B的值；

(2) 若△ABC的面积
，
，求边
的值．

19.(本小题满分12分)

已知关于
的不等式

(1)若不等式的解集是

，求
的值；

(2)若
，求此不等式的解集.

20.（本小题满分13分）

坚持锻炼一小时，健康成长每一天.某校为调查

高中学生在校参加体育活动的时间，随机抽取了

100名高中学生进行调查,其中女学生有55名．上面是根据调查结果绘制的学生日均体育锻炼时间的频率分布直方图：

将日均体育锻炼时间不低于50分钟的学生评价为“良好”,已知“良好”评价中有10名女学生．

非良好

良好

合计



男生









女生









合计









（1）根据已知条件完成下面的
列联表,并据此资料你是否有95%的把握认为“良好”与性别有关?

（2）将日均体育锻炼时间不低于60分钟的学生评价为“优秀”,已知“优秀”评价中有2名女生，若从“优秀”评价中任意选取2人，求至少有1名女生的概率．

下面的临界值供参考：

当
≤2.706时，没有充分的证据判定变量A,B有关联，可以认为变量A,B是没有关联的；当
>2.706时，有90%的把握判定变量A,B有关联；当
>3.841时，有95%的把握判定变量A,B有关联；当
>6.635时，有99%的把握判定变量A,B有关联.

（参考公式：

其中
）

21. (本小题满分14分)[来源:学,科,网Z,X,X,K]

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为
.

图1 图2 图3 图4

（1）求出
,
,
,
；

（2）找出
与
的关系，并求出
的表达式；

（3）求证：
(
).

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高二数学（文科A卷） 参考答案

参考答案

一、选择题（50分）

选项

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

A

A

B

C

C

D

B

A



二、填空题（25分）

11．
12.
13.
14. 3 15 . ①②③

三、解答题

16. (本题满分12分)

解：（1）设数列
的公比为
, 且

由
得
……………………3分

又
，
……………………4分

∴
的通项公式
…………………
…6分

（2）
①

② ………8分

①-②得

[来源:学科网]

………………12分

17.解：记“甲单独破译出密码”为事件A；

记“乙单独破译出密码”为事件B；

记“丙单独破译出密码”为事件C.

则事件A、B、C彼此相互独立，且

事件“恰有二人破译出密码”就是事件

18．(本题满分12分)

解：(1) 根据正弦定理得，sin B＝＝
＝. ……………………4分

∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°. ……………………6分

(2) ∵
>0，且0

∵S△ABC=
acsinB=3， ∴
， ∴c=5. …………
……10分[来源:学科网ZXXK]

∴ 由余弦定理b2=a2+c2－2accosB 得

………………12分

19. (本小题满分12分)

解　(1)由题意知
，且1和5是方程
的两根，………2分

∴
， ……………………………4分

解得
…………………………5分

∴
. …………………………6分

(2)若
，此不等式为
，

…………………………8分

原不等式解集为
………………9分

原不等式解集为


…………10分

原不等式解集为
……………11分

原不等式解集为
………12分

20．解：（1）

非良好

良好

合计



男

30

15

45



女

45

10

55



合计

75

25

100



…………………………………………………………………………4分

没有95%的把握认为“良好”与性别有关。…………………………………6分

（2）由频率分布直方图知，“优秀”有3名男生2名女生共5人.

从5个“优秀”中任意选取2人，共有10种不同的选法，……………..9分

而其中“至少有1名女生”的选法有7种。…………………………11分

因此所求的概率
…………………13分

21解：（1）由题意有
，
，
，

． ……… 3分

(2)由题设及（1）知，
……… 4分

即
所以




……… 5分

将上面
个式子相加，得：

……… 6分

又
，所以
． ……… 7分

（3
）

当
时，
，原不等式成立. ……… 10分

当
时
，原不等式成立. ……… 11分

当
时

原不等成立 ……… 13分

综上所述，对任意
，原不等式成立。 ………14分