吉林省长春市十一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学（理）试题

本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。

一、选择题（每题5分，共60分）

1．抛物线
的准线方程为 （ ）

A.
B.
C.
D.

2．设
，若
，则
=（ ）

A.
B.1 C. D.

3．阅读如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）

A.20 B.3

C. 2 D.60

4．若直线
过圆

的圆心，则的值为（ ）

A.1 B.－1

C.3 D.－3

5．将一枚骰子先后掷两次，向上点数之和为，则≥7的概率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

6．已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为（ ）

A.3 B.－2 C.1 D.

7．下列命题中的假命题是 （ ）

A.
B.

C.
D.

8．曲线
围成的封闭图形的面积为 （ ）

A.10 B.8 C. 2 D.13

9．已知是抛物线
的焦点，
是该抛物线上的两点，
,则线段
中点到轴的距离为 （ ）

A.16 B. 6 C.8 D. 4

10．已知
为实数，则“
且
”是“
”的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

11.已知双曲线的中心在原点，
是的焦点，过的直线
与相交于
两点，且
中点为
，则的方程为 （ ）

A.
B.

C.
D.

12.已知函数
，若函数
恰有四个不同的零点，则实数
的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．双曲线
的离心率为________________.

14．函数
的极小值点为_____________.

15．抛物线焦点在轴上，且被
截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________.

16．已知函数
，且

现给出如下结论：①
；②
；③
；

④
，其中正确的序号为________________.

三、解答题（本大题共70分）（解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

为统计某校学生数学学业水平测试成绩，现抽出40名学生成绩，得到样本频率分布直方图，如图所示，规定不低于60分为及格，不低于85分为优秀．

（1）估计总体的及格率；

（2）求样本中优秀人数；

（3）若从样本中优秀的学生里抽出2人，求这两人至少有一人数学成绩不低于90分的概率．

18．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的极值；

（2）当
时，求
的最值．

19．（本小题满分12分）

已知双曲线
:

过点
,且离心率为2，过右焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为M，N.

（1）求双曲线
的方程；

（2）求四边形OMFN的面积（O为坐标原点）．

20．（本小题满分12分）

设
为椭圆
的两个焦点，是椭圆上一点，已知，
是一个直角三角形的三个顶点，且
.

（1）求
的长度；

（2）求
的值.

21. （本小题满分12分）

已知抛物线
：
，直线
：
，点是直线
上任意一点，

过点作抛物线
的切线
，切点分别为
，直线
斜率分别为
，如图所示 .

（1）若
，求证：
；

（2）当在直线
上运动时，求证：直线

过定点，并求出该定点坐标.

22. （本小题满分12分）

已知函数
，（
为常数，是自然对数的底数）在
处的切线方程为
.

（1）求
的值，并求函数
的单调区间；

（2）当
，
时，证明：
.

长春市十一高中2013-2014学年度高二上学期期末考试

数 学（理科） 答案

一、选择题（每题5分，共60分）

1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.A 7.D 8.A 9.D 10.C 11.B 12.C

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．
14.
15．
或
16．②③

三、解答题

17．（本小题10分）解：（1）及格率为
------------2分

（2）优秀人数6人--------------4分

（3）85分—90分有2人，设为
、
；

90分—100分有4人，设为
、
、
、
，------------6分

那么一次试验的全部结果为：

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

------------ --------8分

共15个结果，所以
-----------10分

18．（本小题12分）解：（1）
------------1分

令
=0得
------------2分

x

(-,-2)

-2

(-2,2)

2

(2,+)



f
(x)

+

0

-

0

+



f(x)

单调递增

16

单调递减

-16

单调递增



------------6分

所以
极大值为
，
极小值为
------------8分

（2）由（1）知，
，
，

又

所以
最大值为
，
最小值为
------------12分

19．（本小题12分）

解：（1）因为
，所以3
，------------2分

设双曲线方程为
∴双曲线过点
，则有
，

∴双曲线方程为
-------- --------5分

（2）右焦点F到渐近线
的距离
，-----------9分

，∴
-----------12分

20．（本小题12分）

解：（1）若
是直角，则
,即
，得
=
-----------3分

若
是直角，则
,

即
，得
=8 ---------6分

（2）若
是直角，则
,即
，得
=
，
=
,∴
-----------9分

若
是直角，则
,

即
，得
=8，
=4, ∴

综上,
或
-----------12分

21. （本小题12分）

解：（1）设过的切线方程为：
，代入抛物线
，消去得：

，由
，所以：
，

该方程的两个根为直线
斜率
，所以：
.-----------5分

（2）设
，
，切点

对
求导数，
，所以：

故：直线
：
， 直线
：

由于
，
所以：
：
，
：

由于直线
，
都过点，有：
，

这说明
满足直线
的方程，

所以直线
为：
，再由

所以
为：
，
， 即
过定点
.------12分

22. （本小题12分）

解：（1）由条件知函数
过点
，所以：
------①

对
求导数：
，
------②

由①、②解得：
.

故：
，

令
得：
，令
得：

所以函数
的单调增区间为
，单调减区间为
.--------6分

（2）由（1）知，当
时，
；当
时，
，

则
在
为减函数，在
为增函数，

若
，
，则必有
，不妨设
.

若证
，即证
，只需证：

即：
， 设
，

即
在
上恒成立，即

设
，

，

∴
是
上的增函数，故

∴
是
上是减函数，故
，所以原命题成立. ---------12分