吉林省长春市十一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学（文）试题

本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。

一、选择题（每题5分，共60分）

1．抛物线
的准线方程为 （ ）

A.
B.
C.
D.

2．设
，若
，则
=（ ）

A.
B.1 C. D.

3．阅读如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）

A. 20 B.3

C. 2 D.60

4．若直线
过圆

的圆心，则的值为（ ）

A.1 B.－1

C.3 D.－3

5．将一枚骰子先后掷两次，向上点数之和为，则≥7的概率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

6．已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为（ ）

A.3 B.－2 C.1 D.

7．下列命题中的假命题是 （ ）

A.
B.

C.
D.

8．双曲线
的渐近线为
，则该双曲线的离心率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

9．已知是抛物线
的焦点，
是该抛物线上的两点，
,则线段
中点到轴的距离为（ ）

A.16 B. 6 C. 8 D.4

10．已知
为实数，则“
且
”是“
”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

11.已知双曲线的中心在原点，
是的焦点，过的直线
与相交于
两点，且
中点为
，则的方程为 （ ）

A.
B.
C.
D.

12．函数
则 （ ）

A.仅有最小值
B.仅有最大值

C.既有最小值0，也有最大值
D.既无最大值，也无最小值

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．经过双曲线
的右焦点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为________________.

14．函数
的极小值点为______________.

15．抛物线焦点在轴正半轴上，且被
截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________.

16.已知函数
，若存在
满足，
则实数
的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共70分）（解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

为统计某校学生数学学业水平测试成绩，现抽出40名学生成绩，得到样本频率分布直方图，如图所示，规定不低于60分为及格，不低于85分为优秀．

（1）估计总体的及格率；

（2）求样本中优秀人数；

（3）若从样本中优秀的学生里抽出2人，求这两人至少有一人数学成绩不低于90分的概率．

18．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的极值；

（2）当
时，求
的最值．

19．（本小题满分12分）

已知双曲线
:

的离心率为
，且过
，过右焦点F作两渐近线的垂线，垂足为M，N．

（1）求双曲线
的方程；

（2）求四边形OMFN的面积（O为坐标原点）．

20．（本小题满分12分）

设
为椭圆
的两个焦点，是椭圆上一点，已知，
是一个直角三角形的三个顶点，且
.

（1）若
是直角，求的
的值；

（2）若
是直角，求
的值.

21. （本小题满分12分）

已知抛物线
：
，直线
：
，点是直线
上任意一点，过点作抛物线
的切线
，切点分别为
，直线
斜率分别为
，如图所示

（1）若
，求证：
；

（2）若
过抛物线的焦点，求点的坐标.

22. （本小题满分10分）

已知函数
，
是都不为零的常数．

（1）若函数
在上是单调函数，求
满足的条件；

（2）设函数
，若
有两个极值点
，求实数的取值范围.

长春市十一高中2013-2014学年度高二上学期期末考试

数 学（文科）答案

一、选择题（每题5分，共60分）

1.B 2. B 3.A 4.A 5.C 6.A 7.D 8.A 9.D 10.C 11. B 12.C

二、填空题（每小题5分，共20分）

13． 14.
15．
16．

三、解答题

17．（本小题10分）

解：（1）及格率为
---------------2分

（2）优秀人数6人--------------4分

（3）85分—90分有2人，设为
、
；

90分—100分有4人，设为
、
、
、
，---------6分

那么一次试验的全部结果为：

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

--------------8分

共15个结果，所以
------------10分

18．（本小题12分）解：（1）
--------------1分

令
=0得
--------------2分

x

(-,-2)

-2

(-2,2)

2

(2,+)



f
(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)

单调递增

16

单调递减

-16

单调递增



------------------------6分

所以
极大值为
，
极小值为
-------------8分

（2）由（1）知，
，
，

又

所以
最大值为
，
最小值为
--------------12分

19．（本小题12分）

解：（1）因为
，所以
-----------2分

设双曲线方程为
∴双曲线过点
，则有

∴双曲线方程为
-----------6分

（2）右焦点F到渐近线距离
-----------9分

而四边形
为正方形，∴
-----------12分

20．（本小题12分）

解：（1）若
是直角，则
,

即
，得
=
，
=
,

∴
-----------6分

（2）若
是直角，则
,

即
，得
=8，
=4, ∴
----------12分

21．（本小题12分）

解.（1）设过的切线方程为：
，

代入抛物线
，消去得：
，

由
，所以：
，

该方程的两个根为直线
斜率
，所以：
.-----------5分

（2）抛物线的焦点
，设
，代入抛物线方程消去得：

，设
，所以：
，

对
求导数，
，所以：

故：直线
：
， 直线
：

所以点
，而在直线
上，故有：
，所以
---------12分

22．（本小题12分）

解（1）
，若函数
是单调函数，则
.- -----------5分

（2）由
，若
有两个极值点
，

则
是
的两个根，又
不是该方程的根，所以方程

有两个根，设
，求导得：

①当
时，
，且
，
单调递减；

②当
时，
，

若
，
，
单调递减；

若
，
，
单调递增；

若方程
有两个根，只需：
，所以
-----------12分