考试时间：120分钟 满分：150分

一、选择题（每小题5分，共10小题）

1．抛物线
的准线方程是 ( )

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
,
,则“
”是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件[来源:Zxxk.Com]

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知两点
、
，且
是
与
的等差中项，则动点
的轨迹方程是（ ）

A．
B．
C．
D．
[来源:学科网ZXXK]

4．若A
，B
，C
，则△ABC的形状是（ ）

A．不等边锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形
D．等边三角形

5．曲线
与坐标轴围成的面积是（ ）

A．4 B．2
C．
D．3

6. 若平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，则平面
与
夹角（锐角）的余弦
是（ ）

A.
B.
C
.
D. －

7.直线
被椭圆
截得的弦长是（ ）

A.
B.
C.
D.

8.点P是曲线
上任意一点，则点P到直线
的距离的最小值是（ ）

A．1

B．
C．2 D ．

9．对于
上可导的任意函数
，若满足
，则必有（ ）

A．
B.

C.
D.

10．设函
数
的定义域为R，
是
的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）

A．
B．
是
的极小值点

C．
是
的极小值点 D．
是
的极小值点

二、填空题（每小题5分，共5小题）

11．命题“
，
”为真命题，则
的取值范围为

12．双曲线
-
=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为

13．抛物线
上一点
到焦点的距离是
，则点
的横坐标是

14．已知函数
在
单调递增，则实数
的取值范围为

1
5．已知
，观察下列两个不等式：[来源:学+科+网]

，
。

问：若
，则实数
=

三、解答题（共6小题，总分75分。解答必须写出解答过程和步骤。）

16. （满分12分）已知命题
：“直线
与椭圆
有公共点”，命题
：“有且只有一个实数
满足不等式
”。 若命题“p或q”是假命题，求实数
的取值范围。

17.（满分12分）已知向量

，函数

。

（1）求
在
的值域；[来源:学科网ZXXK]

（2）若
至少有两个实数解，求的取值范围。[来源:Z*xx*k.Com]

[来源:学科网ZXXK]

18.（满分13分）如图，在长方体
，中，
，点
在棱
上移动.

（1）证明：
；

（2）当
为
的中点时，求点

到面
的距离；

（3）是否存在点E，使得二面角
的大小为
？若存在，求

长度；若不
存在，说明理由。

19.（满分12分）若数列
的通项公式
，记

。

（1）计算
的值；

（
2）猜测
的表达式
，并证明。

20.（满分12分）设
、
分别是椭圆
的左、右焦点。

（Ⅰ）若
是该椭圆上的一个动点，求
的最大值和最小值；

（Ⅱ）设过定点
的直线与椭圆交于不同的两点
、
，且∠
为锐角（其中
为坐标原点），求直线的斜率
的
取值范围。

21.（满分14分）已知函数
．

⑴ 若
，求曲线
在
点
处的切线方程；

⑵ 若
，求函数
的单调区间；

⑶ 设函数
．若至少存在一个
，使得
成立，求实数
的取值范围。

福建省晋江市季延中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学（理）试题答案 [来源:Z§xx§k.Com]

18. 解：解：以
为坐标原点，直线
分别为

轴，建
立空间直角坐标系，设
，则

（1）

（2）因为
为
的中点，则
，从而
，

，设平面
的法向量为
，则

19.证明： (I)
，
，

(II) 猜测
，现用数学归纳法证明如下：

①当
时，显然成立；

②假设当
(
)时，结论成立，即
.

∴当
时，
[来源:Zxxk.Com]

∴当
时，结论成立.[
来源:学|科|网]

∴由①、②可得，

对一切正整数都成立.

20.解：（Ⅰ）易知
，所以
，设
，则

因为

，故当
，即点
为椭圆短轴端点时，
有最小值

当
，即点
为椭圆长轴端点时，
有最大值[来源:Z#xx#k.Com]

21.解：函数的定义域为
，

（1）当
时，函数
，由
，
．

所以曲
线
在点
处的切线方程为
，即
．

（2）函数
的定义域为
． 由
，
，

（ⅰ）若
，

由
，即
，得
或
；

由
，即
，得
．

所以函数
的单调递增区间为
和
，

单调递减区间为
．

（ⅱ）若
，
在
上恒成立，则
在
上恒成立，此时

在
上单
调递增．