湖北省三校2013-2014学年高二上学期期末联考

数学（理）试题

考试时间：2014年1月19日下午14:30-16:30 试卷满分：150分

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．把
化为十进制数为 （ ）

A．20 B．12 C．10 D．11

2．某大学数学专业一共有
位学生，现将学生随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容量为
的样本，已知
号、
号、
号同学在样本中，那么样本中还有
位同学的编号应该为 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．若直线
与直线
平行，则实数
的值为 （ ）

A．
B．1 C．1或
D．

4．圆
在点
处的切线方程为 （ ）

A．
B．

C．
D．

5．2014年巴西世界杯某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 (　 　)

A．18种 B．36种 C．48种 D．72种

6．某调查机构调查了当地100个新生婴儿的体重，并根

据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则

新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是 (　 　)

A．30 B．40

C．50 D．55

7．随机变量
服从正态分布
，且函数
没有零点的概率为
,则

A．

B．
C．
D．

8．某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进行了10次实验,数据如下:

玩具个数（
）

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20



加工时间（
）

4

7

12

15

21

25

27

31

37

41



如回归方程
的斜率是，则它的截距是 (　 　)

A.＝11－22； B. ＝11－22； C. ＝22－11； D.＝22－11.

10．已知点
是椭圆
上的动点，
、
为椭圆的左、右焦点，
为坐

标原点，若
是
的角平分线上的一点，且
,则
的取值范围是

A．（0，3） B．（
） C．（0，4） D．（0，
）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．若
的展开式中各项的系数和为27，则实数
的值是 ▲

12．已知直线

与
关于
轴对称，直线
的斜率是 ▲

13．NBA某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如右图所示：则中位数与

众数分别为 ▲ 和 ▲ ．

14．给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有 ▲ 种不同的染色方案．

15．下图中椭圆内的圆的方程为
，现借助计算机利用如下程序框图来估计该椭圆的面积，已知随机输入该椭圆区域内的
个点
时，输出的
，则由此可估计该椭圆的面积为 ▲

三、解答题:本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知二项式
(
N*)展开式中，前三项的二项式系数和是
，求：

（Ⅰ）
的值；

（Ⅱ）展开式中的常数项．

17．（本小题满分12分）

号码为1、2、3、4、5、6的六个大小相同的球，放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球．

（Ⅰ）若1号球只能放在1号盒子中，2号球只能放在2号的盒子中，则不同的放法有多少种？

（Ⅱ）若3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中，则不同的放法有多少种？

（Ⅲ）若5、6号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？

（Ⅰ）求出这个样本的合格率、优秀率;

（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本,再从这20名医生中随机选出2名.

①求这2名医生的能力参数
为同一组的概率;

②设这2名医生中能力参数
为优秀的人数为
,求随机变量
的分布列和期望.

19. （本小题满分12分）

已知向量

（Ⅰ）若
分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足
的概率.

（Ⅱ）若
在连续区间[1,6]上取值，求满足
的概率.

20．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系
中，已知圆
，圆
．

（Ⅰ）若过点
的直线
被圆
截得的弦长为
，求直线
的方程；

（Ⅱ）圆
是以1为半径，圆心在圆
：
上

移动的动圆 ，若圆
上任意一点
分别作圆
的两条切

线
，切点为
，求
的取值范围 ；

（Ⅲ）若动圆
同时平分圆
的周长、圆
的周长，

如图所示，则动圆
是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

21．(本小题满分14分)

如图，椭圆
：
（
）和圆
：
，已知圆
将椭圆
的长轴三等分，椭圆
右焦点到右准线的距离为
，椭圆
的下顶点为
，过坐标原点
且与坐标轴不重合的任意直线
与圆
相交于点
、
．

（Ⅰ ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
、
分别与椭圆
相交于另一个交点为点
、
.

求证：直线
经过一定点；

②试问：是否存在以
为圆心，
为半径的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交？若存在，请求出所有
的值；若不存在，请说明理由。

宜昌一中

沙市中学2013年秋季学期高二年级期末考试数学（理）试卷

公安一中

参考答案

一、选择题:CBADD BACCD

二、填空题:

(Ⅱ)
展开式的第
项是
，

， …………… 10分

故展开式中的常数项是
． …………… 12分

17．（Ⅰ） 1号球放在1号盒子中，2号球放在2号的盒子中有
（种）． …………4分

（Ⅱ）3号球只能放在1号或2号盒子中，则3号球有两种选择，4号球不能放在4号盒子中，则有4种选择，则3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中有

（种）． …………… 8分

（Ⅲ）号码是相邻数字的两个盒子有1与2、2与3、3与4、4与5、5与6共5种情况，

则符合题意的放法有
（种）． …………… 12分

18. 解：（Ⅰ）解: 各组的频率依次为0.2, 0.3, 0.2, 0.15, 0.1, 0.05,

∴这个样本的合格率为1－0.2=0.8, 优秀率为0.15+0.1+0.05=0.3 …………… 4分

（Ⅱ）①用分层抽样抽出的样本容量为20的样本中,各组人数依次为4,6,4,3,2,1.

从20名医生中随机选出2名的方法数为
,

选出的2名医生的能力参数
为同一组的方法数为：

.

故这2名医生的能力参数
为同一组的概率
…………… 8分

②20名医生中能力参数
为优秀的有6人,不是优秀的有14人.

依题意,
的所有可能取值为0,1,2,则：

,
.

∴
的分布列为

0

1

2













 ∴
的期望值
. …………… 12分

19.（Ⅰ）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足a·b＝－1的概率为＝. ……………6分

（Ⅱ）若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}；满足a·b＜0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y＜0}；画出图形如下图，

矩形的面积为S矩形＝25，阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，

故满足a·b＜0的概率为. ……………12分

20．（Ⅰ）设直线
的方程为
，即
． 因为直线
被圆
截得的弦长为
，而圆
的半径为1，所以圆心
到
：
的距离为
．

化简，得
，解得
或
．

所以直线
的方程为
或
……………4分

（Ⅱ） 动圆D是圆心在定圆
上移动，半径为1的圆

设
，则在
中，
，

有
,则　　

由圆的几何性质得，
，即
，

则
的最大值为
，最小值为
. 故
. ……………8分

21．（Ⅰ ）依题意，
，则
，

∴
，又
，∴
，则
，

∴椭圆方程为
．…………………………………………………………4分

（Ⅱ）①由题意知直线
的斜率存在且不为0，设直线
的斜率为
，则
：
，

由
得
或

∴
，………………………………………………………………6分

用
去代
，得
，

方法1：
，

∴
：
，即
，

∴直线
经过定点
．

方法2：作直线
关于
轴的对称直线
，此时得到的点
、
关于
轴对称，则
与
相交于
轴，可知定点在
轴上，

当
时，
，
，此时直线
经过
轴上的点
，

∵

∴
，∴
、
、
三点共线，即直线
经过点
，

综上所述，直线
经过定点
．……………………………………………9分

②由
得
或
∴
，

则直线
：
，

设
，则
，直线
：
，直线
：
，………………11分

假设存在圆心为
，半径为
的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交，

则
由（
）得
对
恒成立，则
，由（
）得，
对
恒成立，

当
时，不合题意；当
时，
，得
，即
，

∴存在圆心为
，半径为
的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交，所有
的取值集合为
．……………………………………14分

解法二：圆
，由上知
过定点
，故
；又直线
过原点，故
，从而得
．…………………14分