湖北省三校2013-2014学年高二上学期期末联考

数学（文）试题

考试时间：2014年1月19日下午14：30—16：30 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．抛物线
的焦点坐标是( )

A．
B．
C．
D．

2．某校高级职称教师104人，中级职称教师46人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取42人进行调查，已知从其它教师中共取了12人，则该校共有教师人 (　　 )

A．60 B．200 C．210 D．224

3．已知
，
方程
表示双曲线，则
是
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若命题“
使得
”为假命题，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．设双曲线
的虚轴长为2，焦距为
，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取得2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）

A． 至少有1个黑球与都是黑球 B． 至少有1个红球与都是黑球

C． 至少有1个黑球与至少有1个红球 D． 恰有1个黑球与恰有2个黑球

7．已知圆
，圆
，则圆
与圆
的位置关系是（ ）

A．相离 B．相交 C．内切 D．内含

8．椭圆

的左右焦点分别是
，焦距为
，若直线
与椭圆交于
点，满足
，则椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．右图是歌手大奖赛中，七位评委给甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中
为0～9中的一个正整数)，现分别将甲、乙所得的一个最高分和一个最低分均去掉后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为
,中位数分别为
,则有(　 )

A．
,
B．
,

C．
,
D．
与
大小均不能确定

10．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线
，
,和圆：
相切，则实数
的取值范围是（ ）

A．
或
B．
或

C．
或
D．
或

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

11．某饮料店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间有下列数据：

x

－2

－1

0

1

2



y

5

4

2

2

1





12．若
是圆
：
的弦，
的中点是
，则直线
的方程是_________

13．在区间
上随机地取一个数
,若
满足
的概率为
,
=

14．因乙肝疫苗事件，需要对某种疫苗进行检测，现从800支中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

15.市交警部门计划对翻坝高速联棚至夷陵长江大桥路段进行限速，为调查限速70km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有_____辆．

16．如下图是把二进制数
化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是 ．

17．下列命题：①直线
在
轴上的截距相等； ②直线
与直线
平行的充要条件是
；③世界上第一个把
计算到
的是中国人祖冲之； ④抛两枚均匀的骰子，恰好出现一奇一偶的概率为
； ⑤满足
的动点P的轨迹是双曲线； ⑥设
、
是曲线
上的点，
，则必有
。

其中错误的命题序号是

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）

已知点
与两个定点
，
的距离的比为
，点
得轨迹为曲线
。

（1）求曲线
的轨迹方程；

（2）过原点且倾斜角为
的直线交曲线
于
、
两点，求弦
的长。

19．（本小题满分13分）

已知
，命题
恒成立；命题
直线
与椭圆
恒有公共点．问：是否存在正实数
，使得
为真命题，
为假命题？若存在，请求出
的取值范围，若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分13分）

为了了解某市各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了
个人，回答问题“某市有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．

组号

分组

回答正确的人数

回答正确的人数

占本组的频率



第1组

[15，25)



0.5



第2组

[25，35)

18





第3组

[35，45)



0.9



第4组

[45，55)

9

0.36



第5组

[55，65]

3







(1)分别求出
，
，
，
的值；

(2)从第2，3， 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？

(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.

21．（本小题满分13分）

已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.

(1)求抛物线方程；

(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．

22．（本小题满分14分）

已知椭圆
的离心率
，短轴长为2，点
，
是椭圆上的两点，
，
，且
．

（1）求椭圆方程；

（2）若直线
过椭圆的焦点
（
为半焦距），求直线
的斜率；

（3）试问：
的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

宜昌一中

沙市中学 2013年秋季高二年级期末考试文科数学试卷答案

公安一中

18．解：（1）
………………6分

（2）
………………12分

19．解：对
，
，（
），所以要使
恒成立，应有
…………………………4分

，直线
恒过定点（0，2），要使直线
与椭圆
有公共点，应有
，解得
…………………………8分

若
为真命题，
为假命题

则
与
为一真一假，因此
或
，解得
…………………12分

综上，存在
，使得
为真命题，
为假命题．…………………………13分

20．解：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为
，

再结合频率分布直方图可知n=
,

∴ a=100×0.01×10×0.5=5， b=100×0.03×10×0.9=27，

…4分

（2）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，

所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：

第2组：
人；

第3组：
人；

第4组：
人 …8分

（3）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1.

则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C1)，

(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C1)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C1)，(B2,B3)，(B2,C1)，(B3,C1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人的共3个基本事件，即(A1,A2)，(A1,C1)，(A2,C1)………11分

∴ 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：
. ………13分