选择题(共10小题， 50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把答案填涂在答题卷上)

1、已知是虚数单位，复数=
，则
=（ ）

A．0 B．1 C.2 D.

2、已知命题p： x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2x1)≥0，则p是( )

A. x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2x1)≤0 B. x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2x1)≤0

C. x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2x1)<0 D. x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2x1)<0

3、用反证法证明命题“同一平面内，不重合的两条直线，
都和直线垂直，则与
平行”时，否定结论的假设应为（ ）

A.与
垂直 B.与
是异面直线 C.与
不垂直 D.与
相交

4、 下列求导运算正确的是 ( )

A．(x+
B．(log2x)′=

C．(3x)′=3xlog3e D． (x2cosx)′=-2xsinx

5．正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为( )

A．
B．
C．
D．

6、抛物线
在
处的切线与轴

及该抛物线所围成的图形（图中阴影部分）面积

为( )

A．
B．

C．1 D．2

7、椭圆
的一个焦点为(0,1),则m的值为( 　)

A.1 B.
C.-2或1 D.以上均不对

8、当a > 0时，函数
的图象大致是（ ）

9、若点P为共焦点的椭圆
和双曲线
的一个交点,
、
分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为
，双曲线离心率为
，若
,则
（ ）

A.4 B. 3 C.2 D.1

10、 已知函数
的图像关于直线
对称，且当
时其导函数
满足
若
，则下列表示大小关系的式子正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

填空题(共5小题．25分。把答案填在答题卷的相应横线上)

11、方程
在

上有解，则实数的取值范围是 .

12、设直线
与曲线
的图像分别交于点
，则
的最小值为

13、在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下一个直角三角形按下图所标边长，由勾股定理得
.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下正方体的“一个角”三条侧棱两两垂直的三棱锥O－ABC，若用
表示三个侧面面积，
表示截面面积，你类比得到
，
之间的关系式为_______________.

14、过双曲线
(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作圆
的切线，切点为E，若切线FE交轴于点
，则双曲线的离心率为 __

15、若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①
；②
，

③
；④
对应的曲线中存在“自公切线”的是 __

三、解答题(共6小题．共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16、（12分）已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大”．

（1）设圆和正方形的周长为，请你用分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法证明该命题；

（2）类比球体与正方体，写出一个正确的命题（不要求证明）。

17、（12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为
，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底
是半椭圆的短轴，上底
的端点在椭圆上，记
，梯形面积为
．以AB为轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系。

（I）写出该半椭圆的方程；求面积
以为自变量的函数式，并写出其定义域；

（II）设
,求
的最大值，并求出此时的值（均用表示）

18、（12分） 已知

（1）令

，求证：
是其定义域上的增函数；

（2）设
（
，
，用数学归纳法证明：

19、 (13分) 已知离心率为
的椭圆
的顶点
恰好是双曲线
的左右焦点，点是椭圆
上不同于
的任意一点，设直线
的斜率分别为
.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）当
，在焦点在轴上的椭圆
上求一点Q，使该点到直线
的距离最大。

（3）试判断乘积“
”的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；

20、(13分)在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
，M、N分别为AB、SB的中点.

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的正切值；

21．（ 13分）

设函数
在
上的最大值为
（
）．

（1）求
的值；

（2）求数列
的通项公式；

安徽省阜阳一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学试题（理科）参考答案

一、D C D B D A C B C C

二、（11）
；（12 ）2；（13）

（14）
；（15） ② ③

三、

【答案】（1）依题意，圆的面积为
，正方形的面积为
．

因此本题只需证明
．要证明上式，只需证明
，

两边同乘以正数
，得
．因此，只需证明
．

恒成立，所以
．

这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大．

（2）一个球与一个正方体的表面积相等时，球的体积比正方体的体积大。

17、（12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为
，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底
是半椭圆的短轴，上底
的端点在椭圆上，记
，梯形面积为
．以AB为轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系。

（I）写出该半椭圆的方程；求面积
以为自变量的函数式，并写出其定义域；

（II）设
,求
的最大值，并求出此时的值（均用表示）

解：（I）半椭圆方程

设点
的纵坐标，易知C点横坐标为，

则

从而S=
，

其定义域为
．

（II）易知
，

则
．

令
，得
．

因为当
时，
；当
时，
，所以
是
的最大值．

因此，当
时，
的最大值为
．

解：（1）易知函数
的定义域为R，

是其定义域R上的增函数。

（2）①
时，
，由已知条件可得

再由（1）知
是增函数，
=

即
时，不等式成立。

②假设
不等式成立，即

则
时

=
，

即
时，不等式成立

综合①②知
时，不等式成立。

19、(13分) 已知离心率为
的椭圆
的顶点
恰好是双曲线
的左右焦点，点是椭圆
上不同于
的任意一点，设直线
的斜率分别为
.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）当
，在焦点在轴上的椭圆
上求一点Q，使该点到直线
的距离最大。

（3）试判断乘积“
”的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；

解：（1）双曲线
的左右焦点为
,即
的坐标分别为
.

所以设椭圆
的标准方程为
,则
,

且

,所以
,从而
,

所以椭圆
的标准方程为
. 或

(2) 当
时，
，故直线
的方程为
即
，

。。。。。。。。。。点Q（

（3）设
则
，即

. 所以
的值与点的位置无关，恒为
.

20、(13分)在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
，M、N分别为AB、SB的中点.

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的正切值；

解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，

∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=
SD=

=

=
，

且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=
MB=
，在Rt△NEF中，tan∠NFE=
=2
，∴二面角N-CM-B的正切值为2
.

解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵

SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=

AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2
，0），C（-2，0，0），S（0，0，2
），M(1，
，0)，N(0，
，
).∴
=（-4，0，0），
=（0，2
，2
），∵
·
=（-4，0，0）·（0，2
，2
）=0，∴AC⊥SB.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
=（3，
，0），
=（-1，0，
）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则

·n=3x+
y=0，

取z=1，则x=
，y=-
，∴n=(
，-
，1)，

·n=-x+
z=0，

又
=(0，0，2
)为平面ABC的一个法向量， ∴cos(n，
)=
=
.

二面角N-CM-B的正切值为2
.

21、（ 13分）

设函数
在
上的最大值为
（
）．

（1）求
的值；

（2）求数列
的通项公式；

解：（1）解法1：∵

当
时，

当
时，
，即函数
在
上单调递减，

∴
，

当
时，

当
时，
，即函数
在
上单调递减，

∴

解法2：当
时，
，则

当
时，
，即函数
在
上单调递减，∴
，

当
时，
，则

当
时，
，即函数
在
上单调递减，∴

（2）令
得
或
，∵当
时，
且当
时
，当
时
，

故
在
处取得最大值，即当
时，

,------（）

当
时（）仍然成立，

综上得