扬州市2013—2014学年度第一学期高二数学期中测试卷

2013.11

填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

命题“
”的逆否命题为 ▲

命题“

”的否定是“ ▲ ”．

3. “
”是“
”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”）

4．已知一个球的表面积为
，则这个球的体积为 ▲
.

5.已知抛物线的准线方程为错误！未找到引用源。，则抛物线的标准方程为 ▲ ．

6．已知双曲线
的右焦点为
，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ .

7. 过椭圆
(
)的左焦点
作轴的垂线交椭圆于点，
为右焦点，若
，则椭圆的离心率为 ▲ .

8.设m，n是两条不同的直线，，
是两个不同的平面，给出下列命题：

① 若∥
，

，
，则∥；② 若∥
，m (
，n∥，则(；

③ 若(
，m (，n (
，则m ( n； ④ 若(
，m (，n∥
，则∥．

上面命题中，所有真命题的序号为 ▲ ．

9.已知正四棱柱ABCD ( A1B1C1D1的对角线AC1的长为
，且AC1与底面所成角的余弦值为
，则该正四棱柱的体积为 ▲ ．

（第9题） (第10题)

10．如图
为圆
的直径，点
在圆周上（异于
点）直线
垂直于圆所在的平面，点
为线段
的中点，有以下四个命题：

(1)PA//平面MOB; (2)MO//平面PAC (3)OC平面PAB; （4）

其中正确的命题是 ▲ .

11.已知点错误！未找到引用源。在抛物线错误！未找到引用源。上，那么点错误！未找到引用源。到点错误！未找到引用源。的距离与点错误！未找到引用源。到抛物线焦点的距离之和取最小值时，点错误！未找到引用源。的坐标为 ▲ .

12.已知命题
“
”，若命题
是假命题，则实数

的取值范围是 ▲ .

13．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为　　▲ 　．

14．如图，已知过椭圆
的左顶点A(－a，0)作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且
，则椭圆的离心率为 ▲ ．

（第13题）

二、解答题（本大题共6题，共90分）

15．(本小题满分14分)

已知
，若
是
充分而不必要条件，求实数的取值范围.

16．（本小题满分14分）

设命题：方程
表示双曲线，

命题：圆
与圆
相交．

若“
且”为真命题，求实数的取值范围．

17．(本小题满分15分)

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

AB＝AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，

且AC1＝4AF.

(1)求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；

(2)求证：EF //平面ABB1A1.

18. （本小题满分15分）

如图在直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=
，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和为常数.

（1）建立适当的坐标系，求曲线DE的方程；

（2）过C点作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦，求出弦所在直线的方程.

19. （本小题满分16分）

如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.

（1） 求证：平面AEC平面ABE；

（2） 点F在BE上，若DE//平面ACF，求
的值。

20．（本小题满分16分）

如图，点A（( a，0），B（
，
）是椭圆
上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．

2013—2014学年度第一学期高二数学期中测试卷答案

一、填空题

1、
2、
3、 必要不充分 4、
5、

6、
7、
8、②③ 9、2 10、（2）、（4） 11、
12、
13、
14、

二、解答题

15．(本小题满分14分)

已知
，若
是
充分而不必要条件，求实数的取值范围.

解:由题意 p:
∴
…… (3分)

∴
：
……. (5分) q：
…… (8分)

∴
：
…… (10分)

又∵
是
充分而不必要条件∴
且等号不同时成立

∴
…… (14分)

16．(本小题14分)

设命题：方程
表示双曲线，

命题：圆
与圆
相交．

若“
且”为真命题，求实数的取值范围．

解：若真，即方程
表示双曲线，

则
，
． ………………………………………5分

若真，即圆
与圆
相交，

则
． …………………………………………10分

若“
且”为真命题，则假真，

，即
，

符合条件的实数的取值范围是
． ………………………………14分

17．(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

AB＝AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，

且AC1＝4AF.

(1)求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；

(2)求证：EF //平面ABB1A1.

证明：(1) 因为直三棱柱ABC－A1B1C1，所以CC1(平面ABC，

而AD(平面ABC， 所以CC1(AD. ……………… 2分

又AB＝AC，D为BC中点，所以AD(BC，……………… 4分

因为BC(CC1＝C，BC(平面BCC1B1，CC1(平面BCC1B1，

所以AD(平面BCC1B1， ……………… 6分

因为AD(平面ADF，所以平面ADF⊥平面BCC1B1. ……………… 7分

(2) 连结CF延长交AA1于点G，连结GB.

因为AC1＝4AF，AA1//CC1，所以CF＝3FG，……………… 9分

又因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE＝3EB，……………… 11分

所以EF//GB，而EF(平面ABBA1，GB (平面ABBA1，

所以EF //平面ABBA1. ……………… 14分

18.（15分）如图在直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=
，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和为常数.

（1）建立适当的坐标系，求曲线DE的方程；

（2）过C点作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦，求出弦所在直线的方程.

解：⑴a＝
（｜AD｜＋｜BD｜）＝4，可求出曲线DE的方程为
＝1，（－2≤x≤4,0≤y≤2
）　　………………7分

（2）椭圆弧DE与y轴的交点M（0，
），与x轴的交点N（4，0），C（2，
）为M，N的中点，所以弦MN即为所求，其所在直线方程为
.……15分

19.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.

（1） 求证：平面AEC平面ABE；

（2） 点F在BE上，若DE//平面ACF，求
的值。

解：（1）证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC．

因为平面ABCD⊥平面BCE，

平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB(平面ABCD，

所以AB⊥平面BCE． ……………… 3分

因为CE(平面BCE，所以CE⊥AB．

因为CE⊥BE，AB(平面ABE，BE(平面ABE，AB∩BE＝B，

所以CE⊥平面ABE． ………………………… 6分

因为CE(平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE． ………………………… 8分

（2）连结BD交AC于点O，连结OF．

因为DE∥平面ACF，DE(平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，

所以DE//OF． ………………………… 13分

又因为矩形ABCD中，O为BD中点，

所以F为BE中点，即＝． ………………………… 16分

20．（本小题满分16分）

如图，点A（( a，0），B（
，
）是椭圆
上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．

解：（1）由B（
，
），C（0，1），得直线BC方程为
．………… 2分

令y = 0，得x = (2，∴a = 2． ………… 3分

将B（
，
）代入椭圆方程，得
．∴b2 = 2．

椭圆方程为
． ………… 5分

（2）① 当PQ与x轴垂直时，PQ =
； ………… 6分

② 当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ：y = kx ( 1（k≥0），

代入椭圆方程x2 ( 2y2 ( 4 = 0，得x2 ( 2(kx ( 1)2 ( 4 = 0．

即 (2k2 ( 1) x2 ( 4kx ( 2 = 0． ………… 8分

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
．

则 | x1 ( x2 | =
．PQ =
． ………… 10分

=
． ………… 12分

∵
，在k =
时取等号， ………… 14分

∴PQ2 =
(（8，9]．则PQ(
． ………… 15分

由①，②得PQ的取值范围是
． ………… 16分