高二数学（理）答案（2014、1）

一、选择题（共8题，每小题4分，共32分）

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

A

A

C

D

C

B

B

D



二、填空题（共5题，每小题4分，共20分）

题号

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）



答案













三、解答题（共5题，共48分）

（14）（本小题满分8分）

已知为坐标原点，斜率为的直线与两坐标轴分别交于，两点，
．求直线的方程．

解：设直线的方程为
，

令
，得
，令
，得
，

所以
，
． ……… 5分

，解得
．

所以所求直线的方程为
或
． ……… 8分

（15）（本小题满分10分）

已知圆的方程为
，直线的倾斜角为
．

（Ⅰ）若直线经过圆的圆心，求直线的方程；

（Ⅱ）若直线被圆截得的弦长为
，求直线的方程．

解：（Ⅰ）由已知，圆的标准方程为
，

圆心
，半径为，直线的斜率
，

所以直线的方程为
，即
． ……… 5分

（Ⅱ）设直线的方程为
，

由已知，圆心到直线的距离为
，

由
，解得
，所以
或
，

所求直线的方程为
，或
．……… 10分

（16）（本小题满分10分）

已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为
，且经过点
．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）设
、
为双曲线的左、右焦点，若双曲线上一点
满足
，求
的面积．

解：（Ⅰ）设双曲线的方程为
，

由已知，
，所以
，

又双曲线过点
，所以
，解得
，

所求双曲线的方程为
． ……… 4分

（Ⅱ）由
，所以
，
，设
，

则
，
，

因为
，所以
，即
，

又
，所以
，
．

所以
． ……… 10分

（17）（本小题满分10分）

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上的点
到焦点的距离为．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点
的直线与抛物线交于A、B两点，若
，求直线的方程．

解：（Ⅰ）设抛物线的方程为
（
），

由已知，
到准线的距离为，即
，所以
，

所以抛物线的方程为
． ……… 3分

（Ⅱ）设直线的方程为
，
，
，

由
得
，

根据韦达定理，
，
．

整理得
，解得
．

所以，直线的方程为
或
． ……… 10分

（18）（本小题满分10分）

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线：
与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以
为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

（Ⅰ）解：由题意，设椭圆的标准方程为
，

由
，
，得
，
，所以
，

所以椭圆的标准方程为
． ……… 4分

（Ⅱ）证明：设
，
，

由
得
，

，
．

根据韦达定理，
，
．

，

因为以
为直径的圆过椭圆的右顶点
，
，

所以
，
，

，
，

解得
，
，且满足
．

当
时，的方程为
，直线过定点
，与已知矛盾；

当
时，的方程为
，直线过定点
．

综上可知，直线过定点，定点坐标为
． ……… 10分