湖北省部分重点中学2013－2014学年度上学期高二期末考试

数 学 试 卷

命题人：武汉中学 陈国刚 审题人：洪山高中：徐义武

选择题（每小题5分，共50分）

两个三角形全等是这两个三角形相似的（ ）

（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件

命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是（ ）

（A）所有实数的平方是负实数

（B）不存在一个实数，它的平方是负实数

（C）存在一个实数，它的平方是负实数

（D）不存在一个实数它的平方是非负实数

若椭圆经过原点，且焦点分别为
，则其离心率为（ ）

若双曲线
的离心率
，则
的取值范围是（ ）

已知
，那么

（ ）

三名学生与两名老师并排站成一排。如果老师甲必须排在老师乙的左边，且两名老师必须相邻，那么不同的排法共有（ ）种。

若X是离散型随机变量，
，且
，又已知
，则
（ ）

如果方程
表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）

在平面直角坐标系中，若方程
表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（ ）

若椭圆
上有个不同的点
为右焦点，
组成公差
的等差数列，则的最大值为（ ）

填空题（每小题5分，共25分）

与双曲线
有共同的渐近线，并且经过点
的双曲线是 。

椭圆
的焦点分别为
和
，点在椭圆上，如果线段
的中点在轴上，那么
。

某班有
名学生，一次考试的数学成绩
服从正态分布
，已知
，估计该班学生成绩在
以上的人数为 人。

的展开式中含的整数次幂的项的系数之和为

（用数字作答）。

圆
经过椭圆
的两个焦点
，且与该椭圆有四个不同交点，设是其中的一个交点，若
的面积为
，椭圆的长轴长为
，则

（为半焦距）。

解答题（共75分）

（12分）设命题
命题

，如果命题真且命题假，求的取值范围。

（12分）一动圆截直线
和直线
所得弦长分别为
，求动圆圆心的轨迹方程。

（12分）已知椭圆
，直线
是直线
上的线段，且
是椭圆上一点，求
面积的最小值。

（12分）在
个同样型号的产品中，有
个是正品，个是次品，从中任取
个，求（1）其中所含次品数
的期望、方差；（2）事件“含有次品”的概率。

（13分）以椭圆
的一个顶点
为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形
，试问：（1）这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在，说明理由。（2）这样的等腰直角三角形若存在，最多有几个？

（14分）已知常数
，向量
，经过定点
以
为方向向量的直线与经过定点
以
为方向向量的直线相交于，其中
，（1）求点的轨迹
的方程；（2）若
，过
的直线交曲线
于
两点，求
的取值范围。

湖北省部分重点中学2013－2014学年度上学期高二期末考试

数 学 试 题 参 考 答 案

命题人：武汉中学 陈国刚 审题人：洪山高中：徐义武

选择题

1.A 2.C 3.C 4.C 5.A 6.D 7.C 8.D 9.D 10.B

填空题

11.
12.
13.
14.
15.

解答题

16.解：因为命题为真命题，所以

因为命题为假命题，所以

所以的取值范围是
。

17.解：设动圆圆心
点的坐标为
，
分别截直线

和
所得弦分别为
，则
，

，过
分别作直线
和
的垂线，垂足分别为
，则
，
，
，

，
，
，所以动圆圆心的轨迹方程是

18.解：由直线
的方程和椭圆的方程易知，直线
与椭圆不相交，设直线平行于直线
，则直线的方程可以写成
……（1）

由
消去得
……（2）

令方程（2）的根的判别式
得

解之得
或
，

容易知道
时，直线与椭圆的交点到直线
的距离最近，此时直线的方程为

直线与直线
间的距离

所以

19.解：依题意可知随机变量
的一切可取值为
，则

，

（1）

（2）设
，

则
。

20. 解：（1）这样的等腰直角三角形存在。因为直线
与直线
垂直，且关于轴对称，所以直线
与直线
是一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。

（2）设
两点分别居于轴的左，右两侧，设
的斜率为
，则
，
所在的直线方程为
，代入椭圆的方程并整理得
，
或
，
的横坐标为
，
，

同理可得
，所以由
得

，
，

当
时，（1）的解是
无实数解；

当
时，（1）的解是
的解也是
；当
时，（1）的解除
外，方程
有两个不相等的正根，且都不等于，故（1）有
个正根。

所以符合题意的等腰直角三角形一定存在，最多有
个。

21. 解：（1）设点的坐标为
，则

，

又
，
，

，

又因为向量
与向量
平行，所以

向量
与向量
平行，所以
，两式联立消去得
的轨迹方程为
，即
。

（2）因为
，所以的轨迹
的方程为
，

此时点
为双曲线的焦点。

（I）若直线的斜率不存在，其方程为
，

与双曲线
的两焦点为
，

此时

（II）若直线的斜率存在，设其方程为
，

由
，设交点为

，则
，

当
时，
，
；

当
或
时，
，
；

综上可知，
的取值范围是
。