唐山市2013～2014学年度高二年级第一学期期末考试

理科数学甲卷参考答案及评分标准

选择题：

A卷：DCACB DDBAC BC

B卷：ADBCB DACAC BC

二、填空题：

（13）x－y－2＝0或x＋y－2＝0 （14） （15） （16）

三、解答题：

（17）解：

由≥1，得≤0，解得0＜x≤，

故(p为x＞，或x≤0． …3分

由x2－2mx＋m2－1≤0，解得m－1≤x≤m＋1，

故(q为x＞m＋1，或x＜m－1． …6分因为(p是(q的必要不充分条件，所以有

解得－≤m≤1，

故所求实数m的取值范围是－≤m≤1． …10分

（18）解：

（Ⅰ）由已知，得线段AB的中点坐标为(，)，直线AB的斜率kAB＝＝－1，

所以线段AB的垂直平分线的方程为y－＝x－，即x－y＋2＝0．

由题意，圆C的圆心C在直线x－y＋2＝0上，又在y轴上，所以C(0，2)，

半径r＝|BC|＝1，所以圆C的方程为x2＋(y－2)2＝1． …6分

（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为x＋y＝a和y＝kx．

因为圆C的半径为1，直线l被圆C截得的弦长为，

所以点C到直线l的距离为．

当直线l的方程为x＋y＝a时，有＝，解得a＝1或a＝3．

当直线l的方程为y＝kx时，＝，解得k＝±，

故所求直线l的方程为x＋y＝1，x＋y＝3，y＝±x． …12分

（19）解：

过点D作DF⊥α于F，连结BF，AD，

所以∠DBF为BD与平面α所成的角．

因为AB＝7，BD＝24，AB⊥BD，

所以AD＝＝25． …4分

又AC⊥α，所以AC∥DF，A，C，D，F四点共面．

取AC的中点E，则DE⊥AC，

又AF⊥AC，所以AF∥DE，四边形AEDF是平行四边形，

DF＝AE＝12． …8分

在Rt△DFB中，DF＝12，DB＝24，故∠DBF＝30(，

即BD与平面α所成的角为30(． …12分

（20）解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0），

因为点M在抛物线C上，所以(－2)2＝2p·2，即p＝2．

因此，所求C的标准方程为y2＝4x． …5分

（Ⅱ）因为AC⊥x轴，所以弦AC为此抛物线的通径，

故|AC|＝2p＝4，进而|BD|＝8，由题意，F(1，0)，

直线BD的斜率k存在，且k≠0，

设其方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， …8分

设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，

由抛物线定义，得|BD|＝|BF|＋|FD|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8， …10分

解得k2＝1，k＝±1，即弦BD所在直线的方程为y＝±(x－1)． …12分

（21）解：

（Ⅰ）因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，

所以AA1⊥平面ABC，即此棱柱是直棱柱，所以CC1⊥平面A1B1C1，CC1⊥A1D．

又因为A1B1＝A1C1，D为B1C1中点，所以A1D⊥B1C1，B1C1∩CC1＝C1，

所以A1D⊥平面BCC1B1． …6分



（Ⅱ）由题意，AB，AC，AA1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设AB＝1，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，D(，，1)，

＝(，，0)，＝(0，1，－1)．

设平面A1DC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即

取x＝－1，得n＝(－1，1，1)，

因为AB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的一个法向量为＝(1，0，0)，

因为二面角D-A1C-A为钝二面角，设其大小为(，

所以cos(＝cos(n，(＝＝－． …12分

（22）解：

（Ⅰ）设A(a，0)，B(0，b)，C(x，y)，由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，

即解得由题意，有a2＋b2＝9，所以＋9y2＝9，

即点C的轨迹方程为＋y2＝1． …5分

（Ⅱ）①当直线OM，ON的斜率都存在时，设直线OM的方程为y＝kx（k≠0），

由解得所以|OM|2＝x2＋y2＝． …7分

由OM⊥ON，得直线ON的方程为y＝－x，同理得|ON|2＝， …8分

在Rt△MON中，|MN|2＝|OM|2＋|ON|2＝4(1＋k2)(＋)

＝＝5(1－)＝5(1－)

≥5(1－)＝（当且仅当k2＝1时“＝”成立），此时|MN|的最小值为．

②当直线OM，ON的斜率有一个不存在时，易得|OM|＝2，|ON|＝1，

此时|MN|＝＝＞．

综上，可知|MN|的最小值为． …12分

唐山市2013～2014学年度高二年级第一学期期末考试

文科数学甲卷参考答案及评分标准

二、填空题：

（13）x－y－＝0或x＋y－＝0 （14） （15）y＝±x （16）

三、解答题：

（17）解：

由≥1，得≤0，解得0＜x≤，

故(p为x＞，或x≤0． …3分

由x2－2mx＋m2－1≤0，解得m－1≤x≤m＋1，

故(q为x＞m＋1，或x＜m－1． …6分因为(p是(q的必要不充分条件，所以有

解得－≤m≤1，

故所求实数m的取值范围是－≤m≤1． …10分

（18）解：

（Ⅰ）由已知，得线段AB的中点坐标为(，)，直线AB的斜率kAB＝＝－1，

所以线段AB的垂直平分线的方程为y－＝x－，即x－y＋2＝0．

由题意，圆C的圆心C在直线x－y＋2＝0上，又在y轴上，所以C(0，2)，

半径r＝|BC|＝1，所以圆C的方程为x2＋(y－2)2＝1． …6分

（Ⅱ）在等腰三角形CMN中，|CM|＝|CN|＝1，∠MCN＝120(，

所以点C到MN的距离d＝，即＝，

解得m＝－2±． …12分

（19）解：

过点D作DF⊥α于F，连结BF，AD，

所以∠DBF为BD与平面α所成的角．

因为AB＝7，BD＝24，AB⊥BD，

所以AD＝＝25． …3分

又AC⊥α，所以AC∥DF，A，C，D，F四点共面．

取AC的中点E，则DE⊥AC，

又AF⊥AC，所以AF∥DE，四边形AEDF是平行四边形，

DF＝AE＝12． …7分

在Rt△DFB中，DF＝12，DB＝24，故∠DBF＝30(，

即BD与平面α所成的角为30(． …12分

（20）解：（Ⅰ）抛物线y2＝2px的焦点坐标为F(，0)，∵抛物线y2＝2px的焦点在直线y＝x－8上，∴0＝－8，2p＝32，即抛物线的方程为y2＝32x． …6分(Ⅱ)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵P点在抛物线上，纵坐标为8，∴P点坐标为(2，8)，F(8，0)．∵＝(＋)，∴(6，－8)＝[(x1－2，y1－8)＋(x2－2，y2－8)]，即，∴AB中点的坐标为(11，－4)， …9分又((y1＋y2)(y1－y2)＝32(x1－x2)(＝－4，即直线AB的斜率为－4，∴直线AB的方程为4x＋y－40＝0． …12分

由OM⊥ON，得直线ON的方程为y＝－x，同理，得|ON|2＝，…7分

在Rt△MON中，|MN|2＝|OM|2＋|ON|2＝4(1＋k2)(＋)

＝＝5(1－)＝5(1－)

≥5(1－)＝（当且仅当k2＝1时“＝”成立），此时|MN|的最小值为．

②当直线OM，ON的斜率有一个不存在时，易得|OM|＝2，|ON|＝1，

此时|MN|＝＝＞．

综上，可知|MN|的最小值为．