江苏省扬州市2013-2014学年高二第一学期期末调研考试数学试卷

2014．1

（满分160分，考试时间120分钟）

注意事项：试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

参考公式：柱体的体积公式：
，其中
是柱体的底面积，
是高；

球的体积公式：
，球的表面积公式：
，其中是球的半径；

样本数据
，…，
的方差
，其中
=
．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．命题“
”的否定是 ▲ ．

2．右图给出的是一个算法的伪代码，若输入值为
，

则输出值
= ▲ ．

3．函数
的导数
▲ ．

4．先后抛掷一枚质地均匀的骰子（各面上分别标有点数
）两次，骰子朝上的面的

点数依次记为和
，则双曲线
为等轴双曲线的概率为 ▲ ．

5．右边程序输出的结果是 ▲ ．

6．恒大足球队主力阵容、替补阵容各有名编号为
的

球员进行足球点球练习，每人点球
次，射中的次数如下表：

队员\编号

1号

2号

3号

4号



主力

4

5

3

4



 替补

5

4

2

5





则以上两组数据的方差中较小的方差
▲ ．

7．下列有关命题的说法中，错误的是 ▲ (填所有错误答案的序号)．

①命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”；

②“
”是“
”的充分不必要条件；

③若
为假命题，则、均为假命题．

8．已知抛物线
的焦点是双曲线
的右焦点，

则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．

9．底面边长为
，高为
的正三棱锥的全面积为 ▲
．

10．奇函数
在
处有极值，则
的值为 ▲ ．

11．若
是三条互不相同的空间直线，
是两个不重合的平面，

则下列命题中为真命题的是 ▲ (填所有正确答案的序号)．

①若
则
； ②若
则
；

③若
则
； ④若
则
．

12．设集合
，且
，在直角坐标平面内，从所有

满足这些条件的有序实数对
所表示的点中任取一个，若该点落在圆

内的概率为
，则满足要求的
的最小值为 ▲ ．

13．如图平面直角坐标系
中，椭圆

的离心率
，
分别是椭圆的左、右两个顶点，

圆
的半径为，过点
作圆
的切线，切点为，

在轴的上方交椭圆于点
．则
▲ ．

14．设奇函数
定义在
上，其导函数为
，且
，当
时，

,则关于的不等式
的解集为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

根据我国发布的《环境空气质量指数
技术规定》（试行），
共分为六级：
为优，
为良，
为轻度污染，
为中度污染，
均为重度污染，
及以上为严重污染．某市2013年11月份
天的
的频率分布直方图如图所示：

⑴该市11月份环境空气质量优或良的共有多少天？

⑵若采用分层抽样方法从
天中抽取
天进行市民户外晨练人数调查，则中度污染被抽到的天数共有多少天？

⑶空气质量指数低于
时市民适宜户外晨练，若市民王先生决定某天早晨进行户外晨练，则他当天适宜户外晨练的概率是多少？

16．（本小题满分14分）

已知命题
表示双曲线，命题
表示椭圆．

⑴若命题为真命题，求实数的取值范围．

⑵判断命题为真命题是命题为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和 “既不充分也不必要条件”中的哪一个）．

17．（本小题满分15分）

如图，直三棱柱
中，点是
上一点.

⑴若点是
的中点，求证
平面
；

⑵若平面
平面
，求证
.

18．（本小题满分15分）

如图，储油灌的表面积
为定值，它的上部是半球，下部是圆柱，半球的半径等于圆柱底面半径．

⑴试用半径表示出储油灌的容积
，并写出的范围．

⑵当圆柱高
与半径的比为多少时，储油灌的容积
最大？

19．（本小题满分16分）

如图，椭圆
与椭圆
中心在原点，焦点均在轴上，且离心率相同．椭圆
的长轴长为
，且椭圆
的左准线
被椭圆
截得的线段
长为
，已知点是椭圆
上的一个动点．

⑴求椭圆
与椭圆
的方程；

⑵设点
为椭圆
的左顶点，点
为椭圆
的下顶点，若直线
刚好平分
，求点的坐标；

⑶若点
在椭圆
上，点
满足
，则直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知函数
．

⑴当
时，①若
的图象与
的图象相切于点
，求
及
的值；

②
在
上有解，求
的范围；

⑵当
时，若
在
上恒成立，求的取值范围．

2013—2014学年度第一学期高二数学期末试卷

参 考 答 案

2014．1

一、填空题

1．
2． 3．
4．

5．
6．
7．③ 8．

9．
10．
11．④ 12．

13．
14．

二、解答题

15⑴由题意知该市11月份环境空气质量优或良的共有

天； ……4分

⑵中度污染被抽到的天数共有
天； ……9分

⑶设“市民王先生当天适宜户外晨练”为事件，

则
. ……14分

16⑴命题
表示双曲线为真命题，则
， ……3分

∴
； ……5分

⑵命题
表示椭圆为真命题，
， ……8分

∴
或
， ……10分

或

∴是的必要不充分条件. ……14分

17⑴连接
,设
,则为
的中点, ……2分

连接
,由是
的中点,得
， ……4分

又
,且
,

所以
平面
……7分

⑵在平面
中过作
，因平面
平面
，

又平面
平面
，所以
平面
， ……10分

所以
，

在直三棱柱
中，
平面
，所以
， ……12分

又
，所以
平面
，所以
. ……15分

18⑴
，
， ……3分

； ……7分

⑵
，令
，得
，列表





















↗

极大值即最大值

↘





……11分

∴当
时，体积
取得最大值，此时
，
. ……13分

答：储油灌容积
，当
时容积
取得最大值. …15分

19⑴设椭圆
方程为
，椭圆
方程为
，

则
，∴
，又其左准线
，∴
，则

∴椭圆
方程为
，其离心率为
， ……3分

∴椭圆
中
，由线段的
长为
，得
,代入椭圆

，

得
，∴
，椭圆
方程为
； ……6分

⑵
，则
中点为
，∴直线
为
， ……7分

由
，得
或
，

∴点的坐标为
； ……10分

⑶设
，
，则
，
，

由题意
，∴
……12分

∴

……14分

∴
，∴
，即
，

∴直线
与直线
的斜率之积为定值，且定值为
． ……16分

20⑴

①

，