肇庆市中小学教学质量评估

2013—2014学年第一学期统一检测题

高二数学（理科）

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：球的体积
，球的表面积
.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体可以是

A．圆柱 B．圆台

C．棱柱 D．棱台

2．下列命题中假命题是

A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直；

B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；

C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行．

3．直线l的倾斜角为，且
，则直线l的斜率是

A．
B．
C．
或
D．
或

4．如果命题“
”是真命题，则

A．命题p、q均为假命题 B．命题p、q均为真命题

C．命题p、q中至少有一个是真命题 D．命题p、q中至多有一个是真命题

5．“｜x－1｜＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的

A．充分而不必要条件　 　B．必要而不充分条件

C．充分必要条件　　　 　D．既不充分也不必要条件

6．已知双曲线C：
的离心率为
，则C的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线
的准线交于A，B两点，
，则C的实轴长为

A． B．
C．
D．

8．如右图，在正方体
中，P为对角线
的三等分点，

则P到各顶点距离的不同取值有

A．6个 B．5个

C．4个 D．3个

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.

9．命题“
R，
.”的否定是 ▲ .

10．与直线
平行且过点（1，2）的直线方程为 ▲ .

11．抛物线
上与其焦点的距离等于9的点的坐标是 ▲ .

12．如果点P在z轴上，且满足｜PO｜＝1（O是坐标原点），则点P到点A（1，1，1）的距离是 ▲ .

13．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积S的取值范围是 ▲ .

14．如右图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，

已知
，
，圆O的半径为3，

则圆心O到AC的距离为 ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15．（本小题满分12分）

已知半径为
的球内有一个内接正方体（即正方体的顶点都在球面上）.

（1）求此球的体积；

（2）求此球的内接正方体的体积；

（3）求此球的表面积与其内接正方体的全面积之比.

16．（本小题满分12分）

已知圆C经过A（1，1）、B（2，
）两点，且圆心C在直线l：
上，求圆C的标准方程.

17．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱
中，AC=3，BC=4，AB=5，
，点D是AB的中点.

（1）求证：
∥平面
；

（2）求异面直线
与
所成角的余弦值.

18．（本小题满分14分）

已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是
，
， 且它的对角线的交点是M（3，3），求这个平行四边形其它两边所在直线的方程.

19．（本小题满分14分）

如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，

且
，点C为圆O上一点，且
．

点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分14分）

设椭圆
的左右顶点分别为
，离心率
．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且
．

（1）求椭圆的方程；

（2）求动点C的轨迹E的方程；

（3）设直线AC（C点不同于A，B）与直线
交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

2013—2014学年第一学期统一检测题

高二数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

C

D

B

D

A

C





二、填空题

9．
R，
0 10．
11．
（只答一个得3分）

12．
或
（只答一个得3分） 13．[1，
] 14．

三、解答题

15．（本小题满分12分）

解：（1）球的体积
（4分）

（2）设正方体的棱长为a，所以对角线长为
. （5分）

因为球的半径为
，且正方体内接于球，所以正方体的对角线就是球的直径，

故
=
，解得
. （7分）

因此正方体的体积
. （8分）

（3）由（2）得
，所以正方体的全面积为
， （9分）

球的表面积
， （10分）

所以
. （12分）

16．（本小题满分12分）

解：方法1：

设圆心C为（a，b），半径为R，依题意得
， （6分）

解得
， （9分）

所以圆C的标准方程为
. （12分）

方法2：

因为A（1,1），B（2，-2），所以线段AB的中点D的坐标为
， （2分）

直线AB的斜率
， （4分）

因此线段AB的垂直平分线的方程是
. （6分）

圆心C的坐标满足方程组
，解之得
（9分）

所以圆心C的坐标是（-3，-2） （10分）

半径
（11分）

所以圆C的标准方程为
（12分）

17．（本小题满分14分）

方法1：

（1）设
与
的交点为E，连结DE，

因为E为正方形CBB1C1对角线的交点，

所以E为C1B的中点. （2分）

又D是AB的中点，

所以DE为(ABC1的中位线， （4分）

故DE//AC1. （5分）

因为AC1(平面CDB1，DE(平面CDB1，

所以AC1//平面CDB1. （7分）

（2）因为DE//AC1，所以(CED为异面直线
与
所成的角. （9分）

在
中，
，
，
，（11分）

所以
， （13分）

故异面直线
与
所成角的余弦值为
. （14分）

方法2：

因为在(ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，即
，

所以AC⊥BC. （3分）

又三棱柱
直棱柱，所以AC，BC，C1C两两垂直. （4分）

如图，以C为坐标原点，直线AC，BC，
分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
（6分）

（1）设
与
的交点为E，则E（0，2，2）. 连结DE.

因为
，
，所以
，即
. （8分）

因为AC1(平面CDB1，DE(平面CDB1，所以AC1//平面CDB1. （10分）

（2）
，
， （11分）

所以
， （13分）

故异面直线
与
所成角的余弦值为
. （14分）

18．（本小题满分14分）

解：联立两条直线的方程，得
，（2分）

解得
. （4分）

如图平行四边形ABCD的一个顶点是
，

设顶点
，由题意，点M（3，3）是线段AC的中点，（5分）

所以
， 解得
（7分）

由已知，直线AD的斜率
，因为直线
， （8分）

所以BC的方程为
，即
. （10分）

由已知，直线AB的斜率
，因为直线
， （11分）

所以CD的方程为
，即
. （13分）

故其余两边所在直线的方程是
，
. （14分）

19．（本小题满分14分）

（1）证明：方法1：

连接CO. 由3AD=DB知，点D为AO的中点. （1分）

又∵AB为圆O的直径，∴
，

由
知，
，

∴
为等边三角形. （2分）

故
． （3分）

∵点在圆
所在平面上的正投影为点，∴
平面
， （4分）

又
平面
，∴
， （5分）

由PD(平面PAB，AO(平面PAB，且
，得
平面
，

又
平面
，∴
． （6分）

方法2：

∵
为圆
的直径，∴
， （1分）

在
中设
，由
，
得，
，
，
，

∴
，则
， （2分）

∴
，即
． （3分）

∵点在圆
所在平面上的正投影为点，∴
平面
， （4分）

又
平面
，∴
， （5分）

由PD(平面PAB，AO(平面PAB，且
，得
平面
，

又
平面
，∴
． （6分）

方法3：

∵
为圆
的直径，∴
， （1分）

在
中由
得，
，

设
，由
得，
，
，

由余弦定理得，
， （2分）

∴
，即
． （3分）

∵点在圆
所在平面上的正投影为点，∴
平面
， （4分）

又
平面
，∴
， （5分）

由PD(平面PAB，AO(平面PAB，且
，得
平面
，

又
平面
，∴
． （6分）

（2）方法1：

过点作
，垂足为，连接
．（7分）

由（1）知
平面
，又
平面
，

∴
， （8分）

又
，∴
平面
，

又
平面
，∴