命题人：陈玉伟 审核人：王光伟

一．选择题（每题5分，共计60分）

1.已知平面的法向量
，平面
的法向量
，若
，则k的值为（ ）

A.5 B.4 C.
D.

2.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为，从{1,2,3}中随机选取一个数为，则 的概率是( )

A.
B.
C.
D.

3.已知是实数，则“”是“”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.因为指数函数
是增函数，而
是指数函数，所以函数
是增函数，

该推理的错误在于（ ）

A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错

C．推理形式错误导致结论错 D．大前提和小前提错误导致结论错

5.在下列四个命题中

①已知、、、是空间的任意四点，则．

②若{}为空间的一组基底，则{}也构成空间的一组基底．

③．

④对于空间的任意一点和不共线的三点、、，若（其中），则、、、四点共面．其中正确的个数是（ 　 　）

A．３ B．２ C．１ D．０

6. 已知平面的一个法向量
，点
在内，则点
到平面的距离为（ ）

A．10 B.3 C.
D.

7.已知是椭圆
(
)的左焦点,是椭圆上的一点,
轴,
(为原点), 则该椭圆的离心率是 ( )

A．
B.

C.
D.

8.在长为12cm的线段
上任取一点，现作一矩形，邻边长分别等于线段
的长，

则该矩形面积大于20
的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 若直线
与双曲线
的右支交于不同的两点，则实数
的取值范围 是（　　）

Ａ．
　　Ｂ．
　　Ｃ．
　　Ｄ．

10.直三棱柱
中，若
，
，则异面直线
与
所成的角等于（ ）

A.
B.
C.
D.

11. 已知点是双曲线
右支上一点，
分别为双曲线的左、 右焦点，为△
的内心，若
成立，则
的值为 （ ）

A.
B.
C.
D.

12. 已知直线
与抛物线
相交于
两点，为的焦点，若
，则等于（ ）

A.
B.
C.
D.

二．填空题（每题5分，共计20分）

13.已知向量
，若
，则=

14.抛物线
的焦点坐标为

15.已知
和
所在的平面互相垂直，且
，
，则
与平面
所成角的正弦值为

16. 椭圆
上一点
到焦点
的距离为2,是
的中点,则
等于___________.

三．解答题（第17题10分，18-22每题12分，共计70分）

17. 已知命题
若非是的充分不必要条件，求的取值范围.

18.某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品.

（1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？

（2）质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格的概率多大？

19. 如下图，在直三棱柱
中，
，

，
=
.

（1）证明：
；

（2） 求二面角
的正弦值.

20.已知在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，
，
，是
的中点，是线段
上的点．

（1）当是
的中点时，求证：
平面
；

（2）要使二面角
的大小为
，试确定点的位置．

21. 直线
与双曲线
有两个不同的交点，

（1）求的取值范围；

（2）设交点为
，是否存在直线使以
为直径的圆恰过原点，若存在就求出直线的方程，若不存在则说明理由.

22. 已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
， 点
是椭圆的一个顶点，△
是等腰直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点
分别作直线
，
交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为
，
，且
，证明：直线
过定点．

安阳一中2013—2014学年第一学期第二次阶段考试

高二理科数学试题参考答案

一．选择题

1-5CDBAB 6-10DACDC 11-12BD

二．填空题

13. 8 14.
15.
16. 4

（2）设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6

则6听中选2听共有（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2，3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6）共15种 ，

有1听不合格的有（1,5）（1,6）（2,5）（2,6）（3,5）（3，6）（4,5）（4,6）共8种，有2听不合格的有（5,6），

所以所求概率为

19. （1）证明：在△ABC中，由正弦定理可求得

∴
.

以A为原点，分别以AB、AC、AA1 为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则

,
,

即

（2）解：由（1）知
,

设面
的法向量为
，则
，不妨设
，所以

显然面
的法向量
，设二面角
的平面角为，

∴

又
平面
，故
平面

（2）由已知可得平面
的一个法向量为
，

设
，设平面
的法向量为

则
，令
得

由
，

故，要使要使二面角
的大小为
，只需

（2）设交点坐标分别为
，

由（1）知，
， ………………………6分

由题意可得，
（
是坐标原点），

则有
……………………………………………7分

而
………………………8分

∴

于是可得

解得
，且满足（1）的条件， ………………………………………10分

所以存在直线使以
为直径的圆恰过原点，直线的方程为y=x+1或

y= - x+1. ……………………………12分

22. （1）由已知可得
，所求椭圆方程为
．4分

（2）若直线
的斜率存在，设
方程为
，依题意
．设
，
，由
得
则
．………6分

由已知
，所以
，即
．所以
，整理得
．故直线
的方程为
，即
（
）
．…………10分

所以直线
过定点（
）．若直线
的斜率不存在，设
方程为
，设
，
，由已知
，得
．此时
方程为
，显然过点（
）．………………11分

综上，直线
过定点（
）．………………12分