考试时间：120分钟 满分：150分

选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的.）

1、命题“存在
R，
0”的否定是 （ ）

A、不存在
R,
>0 B、存在
R,
0

C、对任意的
R,
0 D、对任意的
R,
>0

2、 “
”是“
”的 （ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

3、一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为 （ ）

A、 B、 C、 D、

4、双曲线方程为
，则它的右焦点坐标为 （ ）

5、命题“已知
为实数，若
，则
”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 （ ）

A、0 B、1 C、2 D、4

6、已知命题

,
;命题

,
,则下列命题中为真命题的是:

（　　）

A．
B．
C．
D．

7、为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

父亲身高x (cm)

174

176

176

176

178



儿子身高y (cm)

175

175

176

177

177



则y对x的线性回归方程为 （ ）

A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝88＋x D．y＝176

8、已知点（3，4）在椭圆
上，则以点为顶点的椭圆的内接矩形
的面积是

（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A、12　　　B、24　　　　C、48　　　　D、与
的值有关

9、若点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝则此椭圆的离心率e＝ （ ）

A、 B、 C、 D、

10、设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是 （ ）

A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函数 B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数

C．任意m∈R，使y＝f(x)都是偶函数 D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数

11、在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为 （　　）

A.
B.
C.
D.

12、设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2) （ ）

A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上

C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）

13、某市有A、B、C三所学校共有高二学生1500人，且A、B、C三所学校的高二学生人数成等差数列，在进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二学生中抽取容量为120的样本进行成绩分析，则应从B校学生中抽取________人.

14、执行如图所示的程序框图，若输入x＝10，则输出y的值为________．

15、右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为
，
，
，
，
，
.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为______________.

16、已知两点A( –2, 0 ) , B( 0 , 2 ), 点P是椭圆
=1上任意一点，则点P到直线 AB距离的最大值是 ______________.

三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的相应位置.）

17.（本小题满分12分）己知命题：方程
表示焦点在轴的椭圆；

命题：关于的不等式
的解集是R；

若“
” 是假命题，“
”是真命题，求实数的取值范围。

（本小题满分12分） 已知三点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）。

（1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（2）设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为
、
、
，求以
、
为焦点且过
点的双曲线的标准方程。

19.（本小题满分12分）

以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.

（Ⅰ）如果
，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；

（Ⅱ）如果
，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学

恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．

20．(（本小题满分12分）

设函数f(x)＝x|x－a|＋b，求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.

21、（本小题满分12分）

如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．

22.（本小题满分14分）

已知椭圆

的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
，直线l的方程为：
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知直线l与椭圆
相交于、两点.

①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；

②已知点
，求证：
为定值.

季延中学2013年秋高二年期中考试数学（文）科试卷

参考答案

1~12：DABCC BCCAD CA

13、40

14、－

9

18.解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为
，其半焦距
,

故所求椭圆的标准方程为
；

（2）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：

（2，5）、
（0，-6）、
（0，6）

设所求双曲线的标准方程为
，由题意知半焦距C=6，

∴
，

故所求双曲线的标准方程为
。

19. 解：（Ⅰ）当x=7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所

以平均数为
……………3分

方差为
……………6分

（Ⅱ）记甲组3名同学为A1，A2，A3，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为B1，B2，B3，B4，他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中人选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是：

A1A2，A1A3，A1B1，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B3，A2B4，A3B1，A3B3，A3B4，B1 B3，B1B4，

B3B4. ……………9分

用C表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C中的结果有5个，它们是：A1B4，A2B4，A2B3，A2B1，A3B4， ……………11分

选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为

……………12分

20.证明　充分性：∵a2＋b2＝0，∴a＝b＝0，...................................2

∴f(x)＝x|x|..............................................................................3

∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|，...........................................4

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．.......................................6

必要性：若f(x)为奇函数，则对一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立．............7

即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立．..............................................8

令x＝0，则b＝－b，∴b＝0，............................................................10

令x＝a，则2a|a|＝0，∴a＝0............................................................11

即a2＋b2＝0...................................12

21．解： (1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝....................3

(2)( 方法一)a2＝4c2，b2＝3c2.

直线AB的方程可为y＝－(x－c)．

将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，....................................................5

得B....................................................................7

所以|AB|＝·＝c.............................................9

由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin∠F1AB.............................................10

＝a·c·＝a2＝40，

解得a＝10，b＝5...........................................................12

(方法二)设|AB|＝t.

因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.

由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t.

再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，

t＝a.

由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5.