考试时间：120分钟 满分150分

一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）

1. 已知命题
，其中正确的是 （ ）

A
B

C
D

2. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的

中线长为 （ ）

A 2 B 3 C 4 D 5

3. 设
，则
是
的（ ）

A 既不充分也不必要条件 B必要但不充分条件

C充要条件 D充分但不必要条件

4. 抛物线
的焦点坐标是（ ）

A（0 ,1） B（0, －1） C（0,
） D (0,－
)

5. 平行六面体
中
，则
等于（ ）

A． B．
C．
D．

6. 若
且
，则实数
的值是（ ）

A．-l B．0 C．1 D．-2

7. 已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是 （ ）

A
（x≠0） B
（x≠0）

C
（x≠0） D
（x≠0）

8. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1, y1）B（x2, y2）两点，如果
=6，

那么
＝ （ ）

A 6 B 8 C 9 D 10

9. 若点在椭圆
上，F1，F2分别是该椭圆的两焦点，且
，则
的面积是（ ）

A 1 B 2 C.
D.

10. 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ）

A
B
C
D

二、填空题（每小题5分，共5小题，满分25分）

11.已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy =___________。

12.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度

是________米。

13. 已知P为抛物线
上任一点，则P到直线
距离的最小值为__________。

14. ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；

②在
中，“
”是“
三个角成等差数列”的充要条件.

③
是
的充要条件；

④“am2

以上说法中，判断正确的有___________.

15. 已知点P（2，﹣3）是双曲线
上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是___________.

三、解答题（共6小题，满分75分）

16.（本题满分12分）

设：方程
有两个不等的负根，：方程
无实根，

若p或q为真，p且q为假，求的取值范围．

17.（本题满分12分）

如图，已知三棱锥
的侧棱
两两垂直，且
，
，是
的中点。

（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（2）求直线
和平面
的所成角的正弦值。

（3）求点E到面ABC的距离。

18.（本题满分12分）

已知定点F(2,0)和定直线
，动圆P过定点F与定直线相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C

（1）求曲线C的方程.

（2）若以M(2,3)为圆心的圆与抛物线交于A、B不同两点，且线段AB是此圆的直径时，求直线AB的方程

19.（本题满分12分）

已知一个圆的圆心为坐标原点
，半径为.从这个圆上任意一点向轴作垂线
，
为垂足.

（Ⅰ）求线段
中点
的轨迹方程；

（Ⅱ）已知直线
与
的轨迹相交于
两点，求
的面积

20.（本题满分13分）

如图，已知DE⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。

（I）求证：AF//平面BCE；

（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；

（III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。

21. （本题满分14分）

在直角坐标系
上取两个定点
，再取两个动点
且
．

（I）求直线
与
交点的轨迹
的方程；

（II）已知
，设直线：
与（I）中的轨迹
交于、
两点，直线
、
的倾斜角分别为
且
，求证：直线过定点，并求该定点的坐标.

高二年级理科数学期中试卷

参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

B

D

C

C

D

B

B

A

D





二、填空题：11__2__ 12__
__ 13__
__ 14__①②__ 15__
___

三、解答题：

17、解：（1）以为原点,
、
、
分别为、、轴建立空间直角坐标系.

则有
、
、
、
……………………………3分

COS<
>
……………………………4分

所以异面直线
与
所成角的余弦为
……………………………5分

（2）设平面
的法向量为
则

， ………7分

则
，…………………8分

故BE和平面
的所成角的正弦值为
…………9分

(3)E点到面ABC的距离

所以E点到面ABC的距离为
…………12分

18、解：（1）由题意知，P到F的距离等于P到的距离，所以P的轨迹C是以F为焦点，为准线的抛物线，它的方程为
………… 5分

（2）设

则

………… 7分

由AB为圆M
的直径知，
………… 9分

故直线的斜率为
…………10分

直线AB的方程为

即
………… 12分

19、解：（1）设M（x,y）,
则
………… 1分

由中点公式得：
………… 3分

因为
在圆上，

…………6分

(2)据已知
…………8分

…………10分

…………12分

20、解：（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，

∴FP//DE，且FP=
又AB//DE，且AB=

∴AB//FP，且AB=FP， ∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。

又∵AF平面BCE，BP平面BCE， ∴AF//平面BCE。 ………………3分

（II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD，DE//AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE。又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。

又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE。……………………7分

（III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，则C（0，—1，0），

显然，
为平面ACD的法向量。

设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为

，

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。……………………13分

21.

、