一、填空题：本大题共14题，每题5分共70分。请把答案填写在答题卷相应的位置上.1．抛物线
的焦点坐标为 ．

2．两个平面可以将空间分成_____________个部分．

3．命题“
，
”的否定是 ．

4．已知
表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“
”是“
”的______________条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空.）

5．设
是互不重合的平面，
是互不重合的直线，给出下列四个命题：

①

②

③

④若
；

其中真命题的序号为 ．

6．与双曲线
有相同的渐近线，且过点
的双曲线的标准方程是 ．

7．下列命题：

①“全等三角形的面积相等”的逆命题；

②“若
则
”的否命题；

③“正三角形的三个角均为60°”逆否命题.

其中真命题的序号是 ．

8．已知圆锥的底面半径为
，高为
，则圆锥的侧面积是
．

9．已知命题
命题
则命题
中真命题有_____________个．

10．过椭圆
的右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于
两点，以
为直径的圆恰好过左焦点，则椭圆的离心率等于 ．

11．以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设、为两个定点，
为非零常数，
，则动点的轨迹为双曲线；

②过定圆
上动点作水平直径所在直线的垂线
，垂足为点,若
则点
的轨迹为椭圆；

③方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线
有相同的焦点.

其中真命题的序号为 ．

12．已知
、
是椭圆
（＞
＞0）的两个焦点，为椭圆
上一点，且
.若
的面积为9，则
=____________ ．

13．已知椭圆
和圆
，若
上存在点，使得过点引圆
的两条切线，切点分别为，，满足
，则椭圆
的离心率的取值范围是 ．

14．已知
是椭圆
和双曲线
的公共顶点。是双曲线上的动点,
是椭圆上的动点（、
都异于、），且满足
，其中
，设直线
、
、
、
的斜率 分别记为
，
，则
．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）

已知命题：实数满足方程
（
）表示双曲线；命题：实数满足方程
表示焦点在轴上的椭圆，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围。

16．（本小题满分14分）

如图，在六面体
中，
，
，
．

求证：（1）
；

（2）
．

17．（本小题满分15分）

如图，已知椭圆
：
的离心率为
，以椭圆
的左顶点为圆心作圆：
，设圆与椭圆
交于点
与点
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）求
的最小值，并求此时圆的方程；

18．（本小题满分15分）

如图：
的长方形
所在平面与正
所在平面互相垂直，
分别为
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）试问：在线段
上是否存在一点，使得平面
平面
？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分16分）

如图，椭圆
的左顶点为，
是椭圆
上异于点的任意一点，点与点关于点
对称．

（1）若点的坐标为
，求的值；

（2）若椭圆
上存在点
，使得
，求实数的最大值．

20．（本小题满分16分）

已知椭圆：
（
）上任意一点到两焦点距离之和为
，离心率为
，左、右焦点分别为
，
，点是右准线上任意一点，过
作直线
的垂线
交椭圆于
点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）证明：直线
与直线
的斜率之积是定值；

（3）点的纵坐标为3，过作动直线
与椭圆交于两个不同点
，在线段
上取点
（异于点M,N），满足
，试证明点
恒在一定直线上．

高二期中数学试题参考答案

二、解答题

17.解：（1）依题意，得
，
，∴
；

故椭圆
的方程为
．

18.证明:(1)连
交
于
,连
则
为
中点,因为
为
中点,

所以
, 又
,
,则
.

(2)当BN=
时,平面
.

证明如下:正
中,Q为
的中点故

由
,又
,则

又因为长方形
中由相似三角形得,则

又
所以,平面
.

19. 解：（1）依题意，
是线段
的中点，因为
，
，

所以 点
的坐标为
． 由点
在椭圆
上，所以
，

解得
．

（2）解：设
，则
，由题意知
． ①

因为
是线段
的中点，

所以
．

因为
，

所以
． ②

所以的最大值是
.

20．解：（1）由题意可得
，解得
，
，
,

所以椭圆：
．

（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为
，

设
，

因为PF2⊥F2Q，所以
，

所以
，

又因为
且
代入化简得
．

即直线
与直线
的斜率之积是定值
．

（3）设过
的直线
与椭圆交于两个不同点
，点

，则
，
．

设
，则
，

∴
，
，

整理得
，
，
，

∴从而
，

由于
，
，

∴
，

所以点
恒在直线
,即
上．