吉林省长春市十一中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学（理）试题

本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。

一、选择题（每题5分，共60分）

1．一枚硬币，连掷三次，至少有两次正面朝上的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

2．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒芝麻，它落在阴影区域内的概率为
，则阴影区域的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.无法计算

3．抛物线
的焦点坐标是 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．过点（2,1）的直线中，被圆
截得弦长最长的直线方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

5．已知
若是的一个充分不必要条件，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

6．椭圆
上两点间最大距离是8，那么
=（ ）

A．32 B．16 C．8 D．4

7．下列命题

①“若
，则
互为相反数”的逆命题；②“若
”的逆否命题；③“若
，则
”的否命题.其中真命题个数为（ ）

A.0 B.1 C.2 D. 3

8．若A、B为互斥事件，给出下列结论

①
；②
；③
；④
,则正确结论个数为( )

A.4 B.3 C.2 D.1

9．若双曲线
的渐近线l方程为
，则双曲线焦点F到渐近线l的距离为( )

A．2 B．
C．2
D．

10．设定点
,
,动点满足
，则点的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.椭圆或线段 C.线段 D.无法判断

11．椭圆
，为上顶点，为左焦点，为右顶点，且右顶点到直线
的距离为
，则该椭圆的离心率为（ 　）

A.
B.
C.
D.

12．已知椭圆

和双曲线

有相同的焦点
，
是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数．是它们在第一象限的交点，当
时，下列结论正确的是（ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为
，表中丢失一个数据，请你推断出该数数值为______________.

零件个数（）

10

20

30

40

50



加工时间（

62



75

81

89





14．根据如图所示的程序框图，

若输出的值为4，则输入的值为________________.

15．已知椭圆
的离心率

为
，左右焦点分别为
，点G在椭圆上，

，且
的面积为3，则椭圆的

方程为___________________.

16．已知点是抛物线
上的动点，点在轴上射影是
,点
,则
的最小值是___________________.

三、解答题（解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）

17.命题p:
，命题q:
是焦点在轴上的椭圆，

若pq为真，pq为假，求实数的取值范围.（10分）

18．某社区为了了解家庭月均用水量（单位：吨），从社区中随机抽查100户，获得每户2013年3月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）．

（1）求频率分布表中
的值，并估计该社区内家庭月用水量少于3吨的频率；（6分）

（2）设
是月用水量为
的家庭代表，
是月用水量为
的家庭代表，若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求代表
至少有一人被选中的概率．(6分)

分组

频数

频率





5

0.05





8

0.08





22

0.22













20

0.20





12

0.12





















19．已知圆
，直线
：
，
。

（1）若直线
过圆
的圆心，求
的值；(5分)

（2）若直线
与圆
交于
两点，且
,求直线
的倾斜角. （7分）

20．点

为抛物线
上一点，为其焦点，已知
，

（1）求
与的值；（4分）

（2）以
点为切点作抛物线的切线，交轴与点
，求
的面积。（8分）

21.已知双曲线过点
，它的渐近线方程为

（1）求双曲线的标准方程；（5分）

（2）设F1和F2是该双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且
，求
的余弦值.（7分）

22. 已知离心率为
的椭圆E：
与圆C：
交于
两点，且
，
在
上方，如图所示，

（1）求椭圆E的方程；（5分）

（2）是否存在过交点，斜率存在且不为
的直线
，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由.（7分）

长春市十一高中2013-2014学年度高二上学期期中考试

数 学 试 题 答 案 （理）

一、选择题（每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

D

A

B

B

B

C

B

D

C

A



二、填空题（每题5分，共20分）

13.68 14.-2或1 15.
16.

三、解答题

17.解：（1）若P为真命题，则
；

若q为真命题，则
，即：
或
-------------------4分

由已知条件知：p与q一真一假，

当p为真，q为假时有：
，所以：
，----------6分

当q为真，p为假时有：
，所以：
，-------------8分

综上有：
或
------------10分

18.解：（1）有已知条件知：月用水量在
的用户的频率为

所以：
-------------3分

用水量在
的用户相等，所以
----------6分

（2）列举结果为：

共10种选法.--------------------9分

由上述列举情况知：
至少有一个人被选中的选法有7种，由古典概型计算公式得：
至少有一个人被选中的概率
-------------12分

19.解：（1）圆心
，由
在直线上，代入直线方程解得：
--------------5分

（2）设
为圆心到直线的距离，则
，

由
解得：
，------------------10分

而该直线的斜率为，所以倾斜角
的正切值
，

所以
或
------------------12分

20.解：（1）由抛物线定义知：
，所以：
-------------2分

所以：抛物线的方程为：
，又由
在抛物线上，
--------4分

故：
，

（2）设过M点的切线方程为：
，代入抛物线方程消去得：

，其判别式
，所以：

切线方程为：
-------------------8分

切线与y轴的交点为
----------------9分，抛物线的焦点

所以：
-------------12分

21.解：（1）设所求双曲线的方程为：
，----------2分，由于
在该双曲线上，

代入方程解得
，---------4分，所以所求双曲线方程为：
-----------5分

（2）由双曲线定义：
------------7分，在
中，由余弦定理：

--------12分

22.解：（1）连接
，由对称性知：
轴，且
关于y轴对称，

由已知条件求得
------------2分

所以有：
，
，
，

解得：
-------------4分 ， 所以椭圆E：
-------5分

（2）设过点的直线
，-------6分

与椭圆的另一个交点为N
，与圆的另一个交点

直线代入椭圆方程消去y得：

所以：
，所以：
，

同理：
，-----------------8分

若直线截两种曲线所得到的弦长相等：则为
中点，

所以有：
，--------------9分

即：

，化简整理有：

，

分解因式：

所以：
，所以存在直线
满足条件.------------12分