湖南省怀化市怀化三中2013-2014学年高二上学期期中考试数学（文科）试题

时量：120分钟 分值：150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共45分）

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号涂在答题卡上.

1. 在△ABC中，
，
，则
的值是 （ ）

A．
B．
C．

D．

2．已知数列
满足
，
，则
（ ）

A．0 B．1 C．2
D．3

3. 在△ABC中，
，
，A=45°，则B= （ ）

A．30° B．45° C．60°
D．120°

4．关于的不等式
的解集是 （ ）

A.
B.
C.
D.

5．数列1，2，4，8，… 的一个通项公式是 （ ）

A．
B．
C．

D．

6. 若x＞0,则
（ ）

A.有最大值4 B.有最小值-4 C.有最小值4 D.有最大值-4

7．若b<0，a＋b>0，则a－b的值 (　　)

A．大于或等于0 B．小于或等于0 C．等于0 D．大于0

8. 已知等比数列
的公比
，则
等于 ( )

A.
B.
C.
D.

9. 在△ABC中，A＝60°，c＝，面积为
，那么a的长度为 (　　)

A．2
B．
C．2 D．1

第Ⅱ卷（非选择题 共105分）

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.

10. 函数
的定义域是_____________________．

11．等差数列
的通项公式是
，则其前5项和
______

12. 设
, 则
的最大值是____________．

13. 已知点（2，2）在不等式3x-2y+a>0表示的平面区域内，则a的取值范围是____________.

14．一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1 h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于________．

15．若不等式(－1)na＜2＋
对任意正整数n恒成立， 则a的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

已知等差数列
，首项
，公差
，求通项
及前n项的和

17.（本小题满分12分）

设变量x，y满足约束条件

（1）在右图所示的坐标系中画出约束条件表示的图形并

求其面积。

（2）求目标函数z＝5x＋y 的最大值。

18.（本小题满分12分）

已知二次函数
，若关于的不等式
的解集为
.

（1）求
的解析式；

（2）若
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

19.（本小题满分13分）

汶川大地震，牵动了全国各地人民的心．为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内，试计算：

(1)设简易房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为P，试用x，y表示P；

(2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？

20．（本小题满分13分）

在△ABC中，已知AB=2，BC=1，CA=
，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形（如图）.设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最小？并求出最小值.

21．（本小题满分13分）

已知函数
.

（1）若
恒成立，求实数
的取值范围；

（2）若对任意非负实数
，以
为三边都可构成三角形，求实数
的取值范围.

2013年下学期期中考试高二年级数学（文）试题（参答）

一．ABACB CDDB

二．10.
11. 40 12.
13.
14.
15.

三．

16. （1）

…………6分 （2）
…………12分

17．（1）略图…………6分 （2）z max= 15 …………12分

18. (1) 由题意，得2，6是关于的方程
的两根， 则a=-8 , b=12

解析式为
；………………6分

（2）由
及
得，
在
时恒成立，

∵ 当
时，
，∴

∴ 实数
的取值范围是
…………12分

19. （1）

即
………………6分

（2）依题得，
且
，由

得，

，
100.

答：简易房面积S的最大值是100平方米，前面墙的长度应设计为
米. …………13分

20 解：设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，EC=x·cosα.

∵∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，∴∠EDB=α。

在△BDE中，由正弦定理得
，∴
，………………6分

∵BE+EC=BC，∴
，

∴

.

当
，即
时，
，此时
，…………13分

21. （1）由于
恒成立，由
恒成立等价于
恒成立。

∵
，当
时，
成立，

当
时，
恒成立等价于
恒成立，∴

∴ 实数
的取值范围是（ -2，+∞）…………6分

（2）由题意有
中两数之和恒大于第三个数，问题转化为
（x>0）恒成立，

∵

当 k>1时，
，当x趋近正无穷大时，
无限趋近1，但

要使
（x>0）恒成立，只须
， 得
，结合k>1，得1

当 k=1时,
,
成立.

当 k<1时,
，当x趋近正无穷大时，
无限趋近1，但

要使
（x>0）恒成立，只须
，
，结合k<1，得
≤k<1

综合，得k的取值范围为：
…………13分